Area Bajo La Curva

El cálculo integral tiene una estrecha relación con el concepto de área bajo la curva. Es conveniente, entonces, presentar algunas características de esa área que le darán sentido a la relación,donde el aspecto principal consiste en medir el área de una región acotada (Figura 1.1). Y, para poder realizar la medición es necesario establecer un  procedimiento general y eficiente.

Medir el áreaa través de otra conocida, es un procedimiento natural y la humanidad ha dado muestra de ello, derivándose, sin embargo, diferentes estrategias para llenar la región acotada.
Por ejemplo, para medirel área de la región acotada que aparece en la Figura 1.1, se persigue la idea de “transformar” (→) la región en un rectángulo cuya área es conocida: área = base x altura (Figura 1.2).

Una de lasestrategias más comunes consiste en insertar en la región acotada una figura geométrica de área conocida (por ejemplo un rectángulo o un triángulo) de un tamaño tal que cubra lo más que pueda la regiónacotada (Figura 1.3). Después para las partes restantes, no cubiertas con la figura geométrica insertada, se repite el mismo proceso, pero con figuras geométricas más pequeñas hasta llenarcompletamente la región y, finalmente, sumar todas las áreas de las figuras geométricas. 

Otra estrategia consiste en llenar la región a través de una red cuadriculada (Figura 1.4), en donde cada “cuadrito”representa una unidad. Entonces, para medir el área de la región bastará contar los “cuadritos” insertados.

Ahora bien, el área bajo la curva (Figura 1.5) es el área de una región acotada asociadaa una función. La región está acotada a la derecha por la recta x = a, a la izquierda por la recta x = b, por abajo por el eje x y por arriba por la función positiva f(x) (f(x) > 0), con respectoal sistema de coordenadas cartesianas.

 El procedimiento para la medición del área, descrito en las estrategias anteriores, es reinterpretado ante esta región acotada. Esta región es orientada por...