Area Bajo Una Curva Matematicas

Área bajo una curva
El concepto de área lo hemos manejado ampliamente en cursos básicos, de hecho para las figuras geométricas como el rectángulo el cálculo de su área se define como el producto de su base por su altura, del mismo modo para calcular el área de un triángulo multiplicamos su base por su altura y al resultado lo dividimos entre dos. Para calcular el área de cualquier polígono(regular e irregular) solo debemos triangular (construir triángulos en su área), calcular el área de cada uno de ellos y sumarlas...
En todas las situaciones anteriores el proceso para el cálculo del área es relativamente simple, sin embargo cuando tenemos una figura como la siguiente en la cual uno o varios de sus lados que limitan la región en la cual queremos calcular el área son curvas, no tenemosun proceso claro.
SUMA DE RIEMANN
La suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemann consiste básicamente en trazarun número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
DEFINICION DE INTEGRAL DEFINIDA EN UN INTERVALO
Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Se define la integral definida, en elintervalo [a,b], como el área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x) y se nota

Si f(x) es una función continua y negativa en el intervalo [a,b] entonces se define la integral definida, en el intervalo [a,b], como el valor del área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x), cambiado de signo.
PROPIEDADES
Dada f(x) una función continua y positiva en elintervalo [a ,b]. Entonces se tiene:
i.
ii. Si f(x) es integrable en el intervalo [a,b] y c[a,b] entonces
iii. Si f y g son dos funciones integrables en [a,b] entonces
TEOREMA DE VALOR MEDIO
En cálculo diferencial, el teorema de valor medio (de Lagrange), también llamado teorema de los incrementos finitos, teorema de Bonnet-Lagrange o teoría del punto medio es una propiedad de lasfunciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante de cálculo (ver también el teorema fundamental del cálculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar el teorema de Taylor ya que es un caso especialSi f es una función continua en [a,b], entonces existe un c[a,b] tal que:

CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS
Ejercicio 1
Calcule las siguientes integrales definidas:
a) | b) | c) |
d) | e) | f) |
g) | h) | i) |
j) | k) | l) |
m) | | |

Respuestas: | a)-2 | b) | c) | d) | e) | f) | g) 24,2 | h) | i) 1 | j) | k) | l) | m) 0 |
|
Ejercicio 2
Sabiendo que:halle:
a) | b) | c) |
d) | e) | f) |

Respuestas: | a) 4,6 | b) 10,8 | c) 21,9 | d) 11,95 | e) 3,45 | f) 7 |
|
Ejercicio 3
a) Calcule siendo.
b) Encuentre el valor de b tal que .
c) Calcule
Respuestas: | a) | b) b = - 1, b = 2 | c) |
|
Ejercicio 4
En la función definida gráficamente por:

se sabe que = 8 y = 6. Halle:
a)
b) e indique qué representa.Respuestas: a) - 6 b) 2, representa el área de la región entre la gráfica de f, el eje x, las rectas x= a, x= c. |
|
Ejercicio 5
En la función definida gráficamente por:

se sabe que . Halle:
a) e indique qué representa
b)
Respuestas: | a) e indica el área de la zona entre la gráfica de f, el eje x, las rectas x = a y x = b.
b) = - 4 |
Teorema fundamental del cálculo
El teorema...