Area De Figuras Regulares En Forma Numrica Y Algebraica

2.2. La integral definida
2.2.1. El sumatorio
Como hemos indicado anteriormente, el ´area de una regi´on se va a obtener como una suma (posiblemente infinita)
de ´areas de rect´angulos. Parafacilitar la escritura y comprensi´on de tal proceso, vamos a introducir una notaci´on.
La suma de n t´erminos a1, a2, . . . , an se denota por
Xn
i=1
ai = a1 + a2 +


+ an;
donde i se llama´ındice de la suma, ai el i-´esimo t´ermino de la suma y los l´ımites inferior y superior de la
suma son 1 y n, respectivamente. Estos l´ımites deben ser constantes con respecto al ´ındice de la suma y la´unica
restricci´on es que el l´ımite superior debe ser cualquier entero superior (o igual) al l´ımite inferior.
El sumatorio posee las siguientes propiedades:
(1)
Xn
i=1
kai = k
Xn
i=1
ai,donde k es una constante que no depende del ´ındice de la suma.
(2)
Xn
i=1
[ai  bi] =
Xn
i=1
ai 
Xn
i=1
bi
Por ejemplo, algunas f´ormulas de suma importantes son las siguientes:
(1)
Xni=1
c = cn.
(2)
Xn
i=1
i = n(n+ 1)
2
.
(3)
Xn
i=1
i2 = n(n + 1)(2n + 1)
6
.
(4)
Xn
i=1
i3 = n2(n + 1)2
4
.
2.2.2. Sumas de Riemann
Consideremos una funci´on f definida en elintervalo cerrado [a; b]. Una partici´on P de dicho intervalo es un
conjunto de n´umeros fx0; x1; x2; : : : ; xng tales que
a = x0 < x1 < x2 <


< xn−1 < xn = b:
C ´ALCULO INTEGRAL 63
Si
xi es laanchura del i-´esimo subintervalo [xi−1; xi], es decir,
xi = xi − xi−1, entonces se define la norma
de P, y se denota por jjPjj, como la longitud del subintervalo m´as grande. En otras palabras,jjPjj= max
16i6n
f
xig = maxf
x1;
x2; : : : ;
xng:
Si ci es cualquier punto del subintervalo i-´esimo, entonces la suma
Xn
i=1
f(ci)
xi; xi−1 6 ci 6 xi;
se llama suma de Riemann de la funci´on fasociada a la partici´on P. Entre todos los posibles valores de ci,
podemos destacar los siguientes:
(1) ci = mi para todo i, donde f(mi) es el valor m´ınimo de f en el i-´esimo subintervalo....