Area de trabajo

INSTITUTO SUPERIOR
HONORIO DELGADO ESPINOZA

CARRERA
ELECTRÓNICA

CURSO
MATEMATICAS

TEMA

METODOS SIMPSON, PARALELOGRAMO, NEWTON

INTEGRANTES

-BORDA MONTESINOS, OMAR

AREQUIPA - 2002

AREA BAJO LA CURVA

DETERMINACIÓN DEL ÁREA

Para el desarrollo de la integral definida usaremos sumas de muchos números. Para expresar tales sumas en forma compactaes conveniente utilizar la notación de sumatoria. Por ejemplo, dado un conjunto de números {a1, a2, ..., an}, el símbolo Σnk representa su suma indicada o sumatoria. Es decir,

La letra griega sigma mayúscula Σ denota la sumatoria y ak representa el K-ésimo término. La letra k se llama índice de sumatoria o variable de sumatoria y adquiere valores enteros sucesivos. Los enteros 1 y n denotan losvalores extremos del índice de la sumatoria.

TEOREMA 1

El dominio del índice de sumatoria no tiene que comenzar en 1. Por ejemplo,

EJEMPLO 2 Evaluar

Solución
TEOREMA 2

Sea n un entero positivo y sean {a1, a2,…, an} y {b1, b2,…, bn} dos conjuntos de números reales entonces

Demostración Para demostrar (i) comenzamos con

Reordenando los términos del lado derecho,

Para (ii),La demostración de (iii) se deja como ejercicio.

La definición de la integral definida está íntimamente relacionada con las áreas de ciertas regiones en un plano coordenado. Se puede calcular fácilmente el área de una región si la misma está acotada por rectas. Por ejemplo, el área de un rectángulo es el producto de su longitud y su anchura. El área de un triángulo es la mitad del producto deuna de sus alturas por la base correspondiente. El área de un polígono se puede calcular dividiéndolo en triángulos.

Para calcular las áreas de regiones más complicadas, cuyas fronteras están dadas por gráficas de funciones, es necesario utilizar un proceso de límite y aplicar los métodos del cálculo. En particular, sea R una región de un plano coordenado acotada por las rectas verticales x =a y x = b, por el eje x y por la gráfica de una función /que es continua y no negativa en el intervalo cerrado [a, b}. La Figura 5.1 ilustra una región de este tipo. Como f(x) a: O para todo x en [a, b], ninguna parte de la gráfica está abajo del eje x. Por conveniencia, se denominará R la región bajo la gráfica de /entre a y b. A continuación se define el área de R.

Sea n un entero positivoarbitrario. Se divide el intervalo [a, b] en n subintervalos de la misma amplitud (b - a)/n. Esto se hace escogiendo números x0, x1, x2, ..., xn con a = xo, b = xn, y

para k = 1,2, ..., n. Si la amplitud (b - a)/n de los subintervalos se denota por Ax, entonces para cada k,

Nótese que

Como f es continua en cada subintervalo [Xk - 1, Xk], f alcanza un mínimo en algún número Uk de [Xk -1 ,Xk] Para cada k se construye un rectángulo de anchura Δx = Xk - Xk-1 y altura igual a la distancia mínima f(uk) del eje x a la gráfica- de f, como se ilustra en la Figura. El área del K-ésimo rectángulo es f(uk) Δx. La frontera de la región formada por todos estos rectángulos es el polígono rectangular inscrito correspondiente a la subdivisión de [a, b} en n subintervalos iguales. El área de estepolígono inscrito es la suma de las áreas de los n rectángulos componentes, es decir,
[pic]

Usando la notación de sumatoria
Área del polígono rectangular inscrito =

Donde f(uk) es el mínimo de f en [Xk -1 , Xk].

FIGURA

La Figura indica que si n es muy grande o, equivalentemente, si Δx es muy pequeño, entonces la suma de las áreas de los rectángulos debe ser casi igual al área totalde la región R. Desde el punto de vista intuitivo, si existe un número A tal que la suma Σnk = 1 f (uk) Δx tiende hacia A cuando Δx tiende a cero (pero Δx ≠ 0), entonces A será el área de R y se puede escribir

El significado de este límite de sumas no es el mismo que el de un límite de una función. Para llegar a una definición satisfactoria de A, hay que adoptar un punto de vista ligeramente...