Area de un circulo

Área del círculo como superficie interior del polígono de infinitos lados

El área del círculo se deduce sabiendo que la superficie interior de cualquier polígono regular es igual al producto del apotema por el perímetro del polígono dividido entre 2, es decir: .
Considerando la circunferencia como el polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotema coincide con el radio de lacircunferencia, y el perímetro con la longitud, por tanto, el área interior es:

[editar] Otras demostraciones
Para representar una función que describa una circunferencia, debe definirse una nueva función , como la unión de otras dos funciones. De lo contrario, se contradice la definición de función que dice que a cada del dominio de una función , le corresponde un único en el recorrido de . Así,podemos definir los puntos pertenecientes a la Circunferencia y calcular su área por medio de integrales.
Para ello, primero daremos una base que muestre cómo se puede construir una ecuación de la circunferencia.
[editar] Distancia entre dos puntos de un plano
Basados en el Teorema de Pitágoras, se puede establecer una relación que describa de manera algebraica la distancia que existe entre dospuntos y del plano:
* Sean y , dos puntos en el plano, tales que
y

Plano, Construcción de la Circunferencia.
con , , y números reales cualesquiera. (Ver Figura)

* Por el teorema de Pitágoras, tenemos que

donde d es la distancia entre los dos puntos y .
Esta fórmula nos sirve para determinar la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano
[editar] Ecuación de lacircunferencia perimetral
Por definición, una circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de los puntos que equidistan de un punto , llamado centro de la circunferencia.
Formalizando esto, podemos escribir como conjunto, todos estos puntos:

como
y además
y
(para que no sea un punto),
entonces y podemos concluir que

Esto es para aclarar que al elevar al cuadrado, no se están agregandosoluciones a nuestra ecuación.
* Comúnmente se escribe la ecuación de la circunferencia como sigue

donde es el centro de la circunferencia.
Nótese que esto no es una función, ya que no cumple con los requisitos de ésta.
Hemos definido entonces, el conjunto que contiene todos los puntos que describen una circunferencia.
[editar] Circunferencia en el plano de ejes ortogonales
Dijimosanteriormente que nuestra expresión, no podía ser una función. Entonces, podemos crear una nueva función que sea la unión del conjunto de puntos de y , donde y describen semicircunferencias. Esto es,

* ,
*

Se usan estas funciones para calcular el área de de un círculo.
[editar] Cálculo del área de un círculo
Las integrales están directamente relacionadas con el cálculo de áreas de funciones,siendo nuestra herramienta fundamental en el cálculo del área del círculo.
Las funciones y son monótonas y acotadas en el intervalo , por lo que cada una es integrable en ese intervalo.
El área comprendida entre y es el área del círculo, y se calcula como sigue:

donde es el área del círculo.
Como , podemos reescribir lo anterior obteniendo
.

En particular, cuando se tiene la igualdad
.Cambiando la escala en el eje y aplicando el Teorema de dilatación o contracción del intervalo de integración, tenemos, usando , que

Luego,

Es decir,

Se define , como el área del círculo unidad. Con esta definición podemos decir que:

[editar] Circunferencia en un plano de ejes de referencia no ortogonales

Plano oblicuo, Construcción de la Circunferencia.
Para construir unacircunferencia en el plano oblicuo, no se puede usar la misma ecuación que se usa en un plano ortogonal, por lo que es necesario introducir algunos conceptos que nos ayudarán a entender la construcción de tal ecuación. Tales conceptos son los de trigonometría.
Se debe tener presente que en este plano una ecuación de circunferencia se llamará así si se ve como tal. Es por esta razón que se descarta...