area de un solido de revolucion

EJERCICIOS DE ÁREAS EN COORDENADAS POLARES

PROBLEMA N° 1
Hallar el área de r = 2cos
Solución.
1) para realizar la gráfica analizamos la simetría con los ejes y el polo.
Con respecto aleje polar r = 2cos r = 2cos , es simétrico
Con respecto al eje ,es simétrico
Con respecto al polo , es simétrico
Gráfica

Determinamos el periodo para el cual

2) Área de la región R: A(R)dA
A(R)=
PROBLEMA N° 2
Calculemos ahora el área que encierra la cardioide de ecuación r = −1 cos θ
Solución
1) Gráfica de la región R

2) Área de la región R: A(R)





A(R) = ()PROBLEMA N° 3
Vamos a calcular el área encerrada por la circunferencia de ecuación polar r =1 que se encuentra fuera de la cardioide de ecuación polar r =1 cos θ.
Solución.
1) Gráfica de la regiónR

Observa que la curva exterior es r =1, mientras que la curva interior es
r =1 cos θ La variable θ recorre el intervalo

2) Área de la región R: A(R)




A(R)= ()
PROBLEMA N° 4
Se r= 2 y r = las ecuaciones en coordenadas polares de dos curvas planas. Calcular el área común a ambas en el primer cuadrante
Solución.
1) Gráfica de la región R.
En el primer cuadrante tenemos losrayos El área común se obtiene como suma de tres superficies


dA = =…..A1




dA = = =…..A2


dA = = = 2-….A3

Área total = A1+A2+A3
=2-++2-
=4-2+ ()PROBLEMA N° 5
Para la cardioide de ecuación r =1 + cos, hallar el área encerrada por la curva y el eje de abscisas
Solución
1) Gráfica de la región R.


2) Área de la región R: A(R)
dA ===




A(R) =

EJERCICIOS DE ÁREAS EN COORDENADAS PARAMÉTRICAS
Problema N° 1.
Calcular el área encerrada dentro de la curva.
X(t)= 3+2 cos (t) y y(t)= 2+5sen(t)
Solución
1) grafica de la región en R.
x=3+2cox (t); y=2+5sen (t)

;


2) área.




A =10 ()


Problema N° 2.
El área encerrada por la curva y el eje de abscisas.
x(t) =...