Area entre curvas

ÁREA ENTRE CURVAS
La aplicación de las integrales definidas nos sirve para para realizar el cálculo de una región situada por debajo de una curva, pero también es posible calcular el áreacomprendida de un región entre dos curvas.

Definición.- Si f y g son continuas en [a, b] y g(x) f(x) para toda x en [a, b], entonces el área de la región limitada por las gráficas de f y g y las rectasverticales x = a y x = b es

Calculando A1 y A2 de la gráfica (1.1)

El área que se desea calcular es: A (Es el área encerrada entre las curvas de f(x)-g(x)).



EJEMPLO #1Encuentre el área de la región limitada por las gráficas de y = x2 + 2, y = -x, x = 0 y x = 1.
Solución:
Sea f(x) = x2 + 2 y g(x) = -x. Entonces g(x)f(x) para toda x en [0,1]. Como se muestra en lafigura 1.2. Por lo tanto, el área del rectángulo representativo es:

y el área de la región es:



Figura 1.2
EJEMPLO #2
Si: f(x) = x2 - 6x + 13 y g(x) = x – 1.
Hallar el área enel intervalo de 2 x 5
Solución:

Figura1.3

EJEMPLO #3
Encontrar el área de la región comprendida por las curvas f(x) = -x2 + 12 y g(x) = x2 – 2x
SOLICIÓN:
Comopodemos observar en la figura 1.4, las gráficas de f y g tienen dos puntos de intersección. Es necesario proceder a igualar las dos ecuaciones y despejar a x para conocer los puntos de corte.(Igualación de f(x) g(x))
(Observemos que esta ecuación se puede dividir entre 2)

(Factorización)
X1 = 3 ó x2 = -2
Por lo tanto el área indicadaestá dada por la siguiente integral definida:

A= 125/3

EJEMPLO #4
Encuentre el área de la región limitada por las gráficas de f(x) = 2 – x2 y g(x) = x.
Solución:
En lafigura 1.5 las gráficas de f y g tienen dos puntos de intersección. Por lo tanto tambien se procede a igualar las dos ecuaciones para encontrar los puntos de intersección
2 –x2 = x
-x2 – x + 2 = 0
-...