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ÁREAS Y PERÍMETROS DE UNA FIGURA
Cuando localizamos puntos en un plano cartesianos, nos podemos dar cuenta que es posible unir los
puntos y como resultado nos da una figura, y como tal tiene área y perímetro.
Sea A1, A2, A3,......, An un polígono de “n” lados cuyos vértices nombrados en sentido
anti horario, tiene como coordenadas: A1 (x1, y1); A(x2, y2); A(x3, y3);…; An(xn, yn)Entonces el área de la región poligonal S correspondiente, es el valor absoluto de la expresión:

.....(1) (x1, y1) = (3, -3)
Llamada también formula determinante de Gauss
Obsérvese en la determinante se repite, al final, el primer par ordenado (x, y) correspondiente a la
coordenada de A1.
La forma de resolver esta determinante es la siguiente:

I
D
De donde: D = x1y2 + x2y2 +… + xny1 I = y1x 2+ y2x2 +… + ynx1
Luego el valor de la determinante estará dada por:

....(2)
Por lo tanto sustituyendo (2) en (1): .... (3)S = |

| u2… (3)

Notas:
a) La elección del primer vértice en el polígono es completamente arbitraria.
b) La expresión (3) es aplicable inclusive a figuras no convexas (cóncavas)

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EJERCICIO DE APLICACIÓN:
1 . Hallar el área de la región pentagonal cuyosvértices son :(-6, 16); (16, 5); (-10, - 4);
(12, 12) y (20, -8).
Solución: Hacemos un gráfico aproximado :Elijamos como primer vértice al par ordenado (12, 12)
luego: (x1, y1) = (12, 12)
Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos, teniendo en cuenta el sentido anti horario serán:

Reemplazando estos valores en (1) :

Resolvamos la determinante de acuerdo a la teoría : I D
Luego losvalores de D y de I respectivamente serán:

Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :
|
S= |
Por lo tanto : S = 488
2. Calculo del área de un triángulo dado por sus coordenadas (-3, -2); (7. 2) y (1, 6). Haciendo un

gráfico:
Elijamos como primer vértice al par ordenado (-3, -2)
luego:

Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos, teniendo encuenta el sentido anti horario serán:

Reemplazando estos valores en (1):

Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto anteriormente : I D
Luego los valores de D y de I respectivamente serán:
Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicha región será :
|
S= |
Por lo tanto: S = 32

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3 . Calcular el área de una región hexagonal no convexa (cóncava) cuyosvértices son: (3, -3); (2, 1);

(4. 7); (-6, 2); (-1, - 2), (-3, -5).
Al igual que en los demás casos dibujemos un gráfico aproximado del hexágono no convexo
Elijamos como primer par ordenado (3, 3)
luego:
(x1, y1) = (3, -3)
Luego de acuerdo al par anterior los otros puntos, teniendo en cuenta el sentido anti horario serán:
(x2, y2) = (2, 1)
(x3, y3) = (4, 7)
(x4, y4) = (-6, 2)
(x5, y5) = (-1,-2)
(x6, y6) = (-3, -5)
Reemplazando estos valores en (1):

4. Resolvamos la determinante de acuerdo a lo expuesto en la teoría: I D

Luego los valores de D y de I respectivamente serán:
D = (3)(1) + (2)(7) + (4)(2) + (-6)(-2) + (-1)(-5) + (-3)(-3) = 51
I = (-3)(2) + (1)(4) + (7)(-6) + (2)(-1) + (-2)(-3) + (-5)(3) = 53

Finalmente sustituyendo estos valores en (3) , el área de dicharegión será:

|
Por lo tanto: S = 52

|

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EJERCICIOS
1. Halla la distancia entre A y B en cada caso:

a. A(-7, 4), B(6, 4)

b. A(3, 4), B(3, 9)

c. A(-5, 11), B(0, -1).

2. Calcula el perímetro de los siguientes triángulos y clasifícalos según la longitud de sus lados:

a. A(-2, 2), B(1, 6), C(6, -6)

b. A(-5, -2), B(0, 6), C(5, -2)

3. Calcular área y perímetro del siguientetriangulo dados por las coordenadas de sus vértices

A (-1,5) B (0,4) C (8,4).

4. Ejercicios 8: Escribe la ecuación general de la recta, r, que pasa por los puntos (1, 0) y (3, 6).
5. Calcular el área, altura y perímetro para los siguientes triángulos, las coordenadas de sus vértices

se dan a continuación, además realiza la gráfica. Nota: la altura será desde el vértice “r” para...