Areas Como Limites Utilizando Rectuangulos Inscritos

Áreas como límites utilizando rectángulos inscritos

Elija un entero positivo arbitrario n y divida el intervalo [a, b] en n subintervalos de anchura (b-a) / n mediante la introducción de puntosx1 ,x2,…,xn-1
y= f (x)
y
x
a
b
a,x1 ,x2,…,xn-1
y= f (x)
y
x
a
b
a,x1 ,x2,…,xn-1
Igualmente espaciados entre a y b. Después trazar líneas verticales a través de los puntos a,x1,x2,…,xn-1 ,b, dividir la región R en n rectángulos de ancho uniforme. Si aproximamos a cada una de estas tiras por rectángulos inscritos bajo la curva y = f (x), entonces la Unión.De estos rectángulos forma una región Rn la cual podemos ver como una aproximación a toda la región R. El área de esta región de aproximación se puede calcular mediante la suma delas áreas de sus rectángulos componentes.

Además, incrementamos a n, el ancho de los rectángulos se hará más pequeño, de modo que la aproximación de R a Rnse mejore, como los rectángulos maspequeños llenan más los huecos bajo la curva.
Así podemos definir el área exacta de R como el límite de las aéreas de las regiones de aproximación cuando n va a +∞, es decir,

A=area R=limn→+∞[areaRn]

y
x
a
b
y
x
a
b
y
x
a
b

y
x
a
b

Si denotamos las alturas de los rectángulos inscritos por h1,h2, …, hn y usamos el hecho que cada rectángulo tiene una base delongitud (b-a)/n, entonces;

areaRn=h1∙b-an+h2∙b-an+⋯+hn∙b-an

Como se asume que f es continua sobre [a, b], esto sigue de el Teorema de Valor-Extremo, en el que la f asume un valor mínimo encada uno de los n subintervalos cerrados.

a,x1, x1,x2,…, xn-1,b
Si estos valores mínimos se producen en los puntos, c1,c2, …,cn entonces las alturas de los rectángulos inscritos son
h1=fc1,h2=fc2,… , hn=fcn

y=f(x)
a c1 c2 … cn b
c1 c1
f(c1)
f(c2)
f(cn)
y=f(x)
a c1 c2 …...