AREAS CUADRATICAS





Un cuarto tipo de superficie en el espacio tridimensional son las cuadráticas. Una superficie cuadrática en el espacio es una ecuación de segundo grado de la forma:
Ax²+ By²+ Cz²+ Dx+ Ey+ Fz+ G= 0
Con A , B, C, no todos nulos. Existen 6 superficies cuadráticas básicas las cuales son:
Elipsoide
Hiperboloide de una hoja
Hiperboloide de dos hojas
Cono elíptico
Paraboloide elípticoParaboloide hiperbólico (silla de montar)

La intersección de una superficie con un plano se llama traza de la superficie con ese plano. En particular, las trazas de las superficies con los planos coordenados se obtienen haciendo x = 0 (traza con el plano yz), y = 0 (traza con el plano xz) y z = 0 (traza con el plano xy).
Para el estudio de estas superficies cuadráticas utilizaremos la ecuacióncanónica de cada una de ellas.





con a, b, c > 0
Observemos que las 3 trazas de esta superficie con los 3 planos coordenados son elipses (o circunferencias).
Ejemplo 1: Graficar

De la ecuación podemos ver que la parte mayor del elipsoide irá sobre el eje Y.












































Las ecuaciones canónicas de estas superficies son de la forma: (Hiperboloide de una hoja ejedel hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo)

Para identificar el hiperboloide de una hoja lo hacemos mediante las trazas con los planos coordenados: Son 2 hipérbolas y una elipse (la “cintura” del hiperboloide)
Para graficar esta superficie cuadrática utilizaremos tres elementos básicos:
a) Identificar el eje del hiperboloide
b) Encontrar las trazas con planosperpendiculares al eje del hiperboloide y graficar estas trazas en el espacio
c) Unir estos cortes con hipérbolas (preferentemente las hipérbolas ubicadas en planos coordenados)

Ejemplo 2: Graficar

Solución
a ) Identificamos que el eje del hiperboloide es el eje z
b ) Hacemos cortes perpendiculares al eje z (paralelos al plano xy) : Escogemos cortes, por ejemplo, en z= 2, z= 0, z=-2

Si z = 2,entonces:




Si z = −2 , notemos que nos da el mismo resultado anterior, es decir una elipse
Si z = 0, , es otra elipse (en el plano xy).


















Las ecuaciones canónicas de estas superficies son de la forma:
(Hiperboloide de dos hojas eje del hiperboloide corresponde a la variable cuyo coeficiente es positivo)
Para identificar el hiperboloide de dos hojas lo hacemos mediante lastrazas con los planos coordenados: Dos hipérbolas y no existe traza con el plano coordenado perpendicular al eje del hiperboloide.
Para graficar esta superficie cuadrática utilizaremos cuatro elementos básicos
a) Identificar el eje del hiperboloide
b) Identificar los vértices del hiperboloide de dos hojas
c) Encontrar las trazas con planos perpendiculares al eje del hiperboloide y graficarestas trazas en el espacio
d) Unir estos cortes con hipérbolas (preferentemente las hipérbolas ubicadas en planos coordenados)

Ejemplo 3: Graficar

Solución
Este hiperboloide es de la forma

a) El eje del hiperboloide es el eje y .
b) Los vértices del hiperboloide se ubican en su eje, y vienen dados por la raíz cuadrada del denominador del término positivo. Para este caso c = ± 2
c ) Hacercortes perpendiculares al eje del hiperboloide, por ejemplo en y = ±3























Las ecuaciones canónicas de estas superficies son de la forma:

Para identificar el cono elíptico lo hacemos mediante las trazas con los planos
coordenados: Las trazas con los planos coordenados son rectas que pasan por el origen y el punto (0,0)
Después de identificada el tipo de gráfica, mediante lastrazas, continuamos con lo siguiente:
a) Identificamos el eje del cono (la variable del término de diferente signo)
b) Hacemos los cortes perpendiculares al eje del cono y los graficamos en el espacio.(estos cortes son elipses)
c) Unimos estos cortes con rectas que pasan por el origen
Ejemplo 4: Graficar


a) El eje del cono es el eje x
b) Escogemos 2 cortes perpendiculares al eje x, es decir...