Areas de regiones planas

AREAS DE REGIONES PLANAS
* ÁREA BAJO UNA CURVA
Considerando sólo una partición representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquier partición de la región plana

El área del elemento diferencial será:

Por tanto, el área de la región plana es:

* ÁREA ENTRE CURVAS
Si la región plana tuviera la siguiente forma:

El área del elemento diferencial será:Entonces el área de la región plana esta dada por:
CONCLUSIÓN:
Para hallar el área de una región plana, siga los siguientes pasos:
1. Dibuje las curvas dadas.
2. Identifique la región plana. Aquí se definen los límites de integración.
3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento representativo.
4. Defina la integral o las integrales para él área.
5. Evalúe la integral definida.Ejemplo

Calcular el valor del área de la región limitada por

SOLUCIÓN:
PASO 1: Graficamos en un mismo plano y

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas.
PASO 3: Definimos el elemento diferencial.

PASO 4: La integral definida para el área sería:

PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:

* ÁREADE REGIONES SIMPLE(y)
Si la región plana tuviese la siguiente forma:
Es más conveniente tomar el elemento diferencial representativo en disposición horizontal
El área del elemento diferencial será:

Entonces el área de la región plana es:

VOLUMEN DE UN SOLIDO EN REVOLUCION
Se denomina sólido de revolución o volumen de revolución, al sólido obtenido al rotar una regióndel plano alrededor de una recta ubicada en el mismo, las cuales pueden o no intersecarse. Dicha recta se denomina eje de revolución.
Sea f una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Si la región R indicada en la figura rota alrededor del eje X, está genera un sólido de revolución cuyo volumen tratamos de determinar.

Rotaciones alrededor de los ejes cartesianos
El volumen de los sólidos generadospor revolución alrededor de los ejes cartesianos se pueden obtener mediante las siguientes ecuaciones cuadráticas.
Rotación paralela al eje de abscisas (Eje x)
El volumen de un sólido generado por el giro de un área comprendida entre dos gráficas, f(x) y g(x) definidas en un intervalo [a,b] alrededor de un eje horizontal, es decir, una recta paralela al eje OX de expresión y=K siendo Kconstante, viene dado por la siguiente fórmula genérica

En particular, si se gira una figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OX, el volumen del sólido de revolución viene generado por la fórmula:
 método de discos.
Rotación paralela al eje de ordenadas (Eje y)
Éste es otro método que permite la obtención de volúmenes de sólidos generados por el giro de un áreacomprendida entre dos gráficas cualesquiera, f(x) y g(x), en un intervalo [a,b] alrededor de un eje de revolución paralelo al eje de ordenadas cuya expresión es x=K siendo K constante positiva. La fórmula general del volumen de estos sólidos es:

Esta fórmula se simplifica si giramos la figura plana comprendida entre y=f(x), y=0, x=a y x=b alrededor del eje OY, ya que el volumen del sólido derevolución viene generado por:
 Método de cilindros o capas.

LONGITUD DE ARCO DE UNA CURVA PLANA

   | Vamos a determinar la longitud  del arco de una curva con ecuación , comprendida entre los puntos , .  |
 Como se muestra en la figura anterior, dividimos el arco  en  partes, uniendo luego los sucesivos puntos de división por segmentos rectilíneos.Por ejemplo, el segmento  tendrá comolongitud  que por definición corresponde a la integral: 
(hemos expresado  como ).Como la longitud de una curva no depende de la elección de los ejes coordenados, si  puede expresarse como función de , entonces la longitud del arco está dada por  |

INTEGRALES IMPROPIAS
En cálculo, una integral impropia es el límite de una integral definida cuando uno o ambos extremos del intervalo de integración se...