AREAS

CALCULO DE AREAS










PRESENTADO POR:

ALEXANDER MELO CERON (1101485)
YOHAN ANDREY RIVEROS (1101664)










PRESENTADO A;
CARLOS PORRAS













UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
TOPOGRAFIA Y PRÁCTICA
GRUPO: CIVIL 3
BOGOTÁ D.C
2013
CALCULO DE AREAS
El area es una medida de superficie que representa eltamaño de la misma, en los trabajos topograficos comunes el area se expresa en metros cuadrados m², hectareas (ha) okilometros cuadrados (km²), dependiendo del tamaño de la superficie a medir.
El calculo del area de una superficie se determina indirectamente, midiendo ángulos y distancias y realizando los calculos correspondientes.
Existen distintos tipos métodos y procedimientos para el calculo delas areas como lo son el calculo de areas de figuras fundamentales, el método de calculo de areas de poligonos por sus coordenadas, y los metodos para superficies irregulares de los trapecios (o de Bezout), el de Simpson y el de Easa.
En otras palabras debemos trabajar con un taquímetro, donde actualmente se trabaja con taquímetros digitales equipados con EDM y miniaturizados en lo que sellama estación total. De lo contrario debemos trabajar con un GPS centimétrico o milimétrico para procesar a posteriori o en tiempo real con una estación emisora del mensaje de corrección en un radio máximo de 20 km, obteniendo las coordenadas corregidas en tiempo real. A partir de allí realizaremos los cálculos de áreas por coordenadas cartesianas.

AREA DE FIGURASELEMENTALES
En el calculo de areas de superficie de poca extension, en donde se puede realizar el levantamiento mediante el empleo de cintas métricas, la superficie se puede descomponer en figuras conocidas: coo triangulos, rectangulos u otras figuras elementales cuyas areas se pueden calcular mediante la aplicación de formulas sencillas.

 Triángulo
Área = ½b×h
b = base
h = altura
 

 CuadradoÁrea = a2
a = longitud del lado

 Rectángulo
Área = b×h
b = base
h = altura
 

 Paralelogramo
Área = b×h
b = base
h = altura

 Trapecio
Área = ½(a+b)h
h = altura
 

 Círculo
Área = πr2 
Circunferencia = 2πr
r = radio

 Elipse
Área = πab
 

 Sector
Área = ½r2θ 
r = radio
θ = ángulo en radianes

Formas de calcular el área de un triángulo
Imagino que todosconoceréis la fórmula para calcular el área de un triángulo:

Donde  es un lado y  es la altura sobre ese lado.

Sin embargo, hay otras fórmulas equivalentes para calcular este área, y que nos pueden servir de utilidad para resolver problemas.
Por ejemplo, con un poco de trigonometría elemental sabemos que

O lo que es lo mismo:

Por lo que sin más que sustituir en nuestra primera fórmula obtenemosuna en la que no necesitamos conocer la altura del triángulo:

Veamos una tercera manera. Si trazamos las bisectrices de los tres ángulos, éstas se cortan en un punto que se denomina incentro, y que como sugiere su nombre es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

Como se puede  ver, las bisectrices (con trazo-punto en el dibujo) nos dividen nuestro triángulo original ABC entres: BCI, ABI  y AIC, donde I es el incentro. De manera parecida a lo que hicimos para el teorema de Viviani, tenemos que cada uno de estos tres triangulitos tiene por base uno de los lados y como altura el radio, por lo que podemos calcular su área de manera sencilla. Entonces:

Si ahora llamamos  al semiperímetro () nos queda la sencilla fórmula:

Donde, como hemos dicho,  es el semiperímetroy  es el radio de la circunferencia inscrita.
¿Qué pasa ahora si, en vez de considerar la circunferencia inscrita, tenemos en cuenta la circunscrita? Ésta se obtiene tomando como centro el punto donde se cortan las tres mediatrices y que se denomina circuncentro.
Si llamamos  al radio de la circunferencia circunscrita, nos encontramos con que

La demostración es la más complicada de las...