areas

1
AREAS
La noción de área está asociada a la extensión o superficie de una figura. El área es un
número que nos dice que tan extensa es una región y la expresamos en kilómetros
cuadrados (Km2); metros cuadrados (m2); centímetros cuadrados (cm2); etc.
AREA DE UN TRIANGULO
El área de un triangulo es igual al producto de un lado por su altura correspondiente, sobre 2.
El lado que se escoge sellama base.

Área del

ABC

AB CH
2

Área del

ABC

AB CH
2

QR PA
2
El área de un triangulo rectángulo es igual al semiproducto de sus catetos.

Área del PQR

AREA DE UN RECTANGULO:
El área de un rectángulo es igual al producto de la base por la altura.
El área de un cuadrado es igual al lado al cuadrado.
AREA DE UN PARALELOGRAMO
Es igual a la base por la altura.

2AREA DE UN TRAPECIO:
Es igual a la semisuma de las bases por la altura.

( AB DC ) h
2
AREA DE UN CÍRCULO
AREA = R2
AREA

SECTOR CIRCULAR

El área del sector circular es:

R2
360 0

0

AREA DE UN POLIGONO REGULAR

Area

perimetro apotema
2

3
TEOREMA
Una mediana de un triangulo lo divide en dos triángulos de igual área.
HIPÓTESIS: AM es una mediana
TESIS: Área de1. Se traza AH
2. Área

ABM

3. Área

AMC

4. BM

BC; B H
BM AH
2
MC AH
2

MC

BM AH
2
6. Área ABM = Área AMC
5.

AMC

M C

ABM Área de AMC

1. Construcción
2. área de un triangulo.
3. Área de un triangulo
4. De hipótesis. M es punto medio por definición
de mediana de un triangulo.
5. Sustitución de 4 en 3.
6. De 2 y 5. Propiedad transitiva

TEOREMA
Lasmedianas de un triangulo lo dividen en 6 triángulos de igual área. (Demostrarlo)

EJERCICIOS
1. Demostrar que las áreas de dos triángulos que tienen un ángulo congruente son entre
ellas como los productos de los lados que comprenden el ángulo.
HIPOTESIS: CH y FG son
alturas
A D
TESIS:

ABC
DEF

AB AC
DE DF

4
AB CH
2
DE FG
2.DEF
2
ABC AB CH
3.
DEF DE FG
4. A D
5. AHC DGF
AB AC CH
6.
DE DF FG
ABC AB CH
7.
DEF DE FG
ABC AB AC AB AC
8.
DEF DE DF DE DF
NOTA: Colocar al frente las razones
1. ABC

2. Se tiene un cuadrado ABCD de lado a. Se prolonga la diagonal AC de A hacia C y se
toma en la prolongación un punto E, tal que CE = a. Encontrar el área del triangulo BCE,
en términos de a

Se traza la diagonal BD que corta a AC en P. AC
sonperpendiculares)
PC = PB = x.

BD (Las diagonales de un cuadrado

a2
a
x
2
2
Área del triangulo BCE = Área del triangulo BPE menos el área del triangulo BPC
En el triangulo rectángulo PCB se tiene: x 2

BPE

PE PB
2

(

a 2
2

a)
2

a 2
2

x2

a2

2x 2

a2

x2

a 2
2

5
Se siguen las operaciones y se llega a: BPE

a2

2a 2
4

2

El área de BPC es
BPE – BPC=

a
porque es la cuarta parte del área del cuadrado
4

2a 2
4

3.
Desde los vértices del cuadrado ABCD y con radio igual al lado, se
describen arcos. Calcular el área de la región rayada en función del
lado del cuadrado que es a

a2 2
Respuesta: Area

3 3 9
3

El área de la figura es igual al área del cuadrado menos el
área de los sectores circulares BEA y CED y menos el áreadel triangulo equilátero AED. AD = AE = ED = a
4.
En el cuadrado ABCD se inscribe una circunferencia y desde
los vértices del cuadrado se describen arcos con radios iguales
a la mitad del lado del cuadrado. Calcular el valor del área de
región rayada en función del lado del cuadrado que es a
a2
(
2)
Respuesta:
2

5.

6
6.
HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo
P es un puntocualquiera de la diagonal AC
TESIS:
Area del DPC = Area del PBC
Area del DPA = Area del APB
7.

(a b) 2
RESPUESTA:
2
8.

Respuesta:

a2
( 3 1)
4

9.

FC 6 ; AD AB BC . F es el centro de la semicircunferencia
y C es un punto de tangencia.
Hallar el área de la región rayada.

Respuesta: 6(16 - 3 )

7
10.

Respuesta:

12 3 4
9

11.
ABCD es un cuadrado de lado 4 cm....