Aritmética binaria

ARITMÉTICA BINARIA

2.- EL SISTEMA BINARIO
La Unidad Aritmético Lógica, en la CPU del procesador, es capaz de realizar operaciones aritméticas, con datos numéricos expresados en el sistema binario. Naturalmente, esas operaciones incluyen la adición, la sustracción, el producto y la división. Las operaciones se hacen del mismo modo que en el sistema decimal, pero debido a la sencillez delsistema de numeración, pueden hacerse algunas simplificaciones que facilitan mucho la realización de las operaciones.
Es un sistema posicional que utiliza los símbolos 0 y 1.
El interés del sistema binario reside en:
-La mayor parte de los computadores existentes representan la información y la procesan mediante elementos y circuitos electrónicos de dos estados.
-Es uno de los sistemas denumeración de más alto rendimiento.
-Son sencillas las reglas aritméticas en este sistema.
-Seguridad y rapidez de respuesta de los elementos físicos de dos estados: ON, OFF.
Los diez primeros números binarios se escriben:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 | 1000 | 1001 |

Suma en binario
Para aprender a sumar, con cinco o seis años de edad, tuvisteque memorizar las 100 combinaciones posibles que pueden darse al sumar dos dígitos decimales. La tabla de sumar, en binario, es mucho más sencilla que en decimal. Sólo hay que recordar cuatro combinaciones posibles:
+ | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 + 1 |
Las sumas 0 + 0, 0 + 1 y 1 + 0 son evidentes:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1

Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistemadecimal, debe escribirse en binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra una unidad, que se suma a la posición siguiente a la izquierda. Veamos algunos ejemplos:
010 + 101 = 111 210 + 510 = 710
001101 + 100101 = 110010 1310 + 3710 = 5010

1011011 + 1011010 = 10110101 9110 + 9010 = 18110

110111011 + 100111011 = 1011110110 44310 + 31510 = 75810

Ejercicio 1:
Realiza lassiguientes sumas de números binarios:
111011 + 110
111110111 + 111001
10111 + 11011 + 10111

Sustracción en binario
La técnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operación en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo,sustraendo y diferencia.

- | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 |
1 | 1 + 1 | 0 |

Las restas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:
0 – 0 = 0
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1, es decir, 210 – 110 = 1.  Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Veamos algunosejemplos:
111 – 101 = 010 710 – 510 = 210

10001 – 01010 = 00111 1710 – 1010 = 710

11011001 – 10101011 = 00101110 21710 – 17110 = 4610

111101001 – 101101101 = 001111100 48910 – 36510 = 12410

Ejercicio 2:
Realiza las siguientes restas de números binarios y comprueba los resultados convirtiéndolos al sistema decimal:
111011 - 110
111110111 - 111001
1010111 - 11011 – 10011

A pesar delo sencillo que es el procedimiento de restar, es facil confundirse. Tenemos interiorizado el sistema decimal y hemos aprendido a restar mecánicamente, sin detenernos a pensar en el significado del arrastre. Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varias soluciones:
* Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide unaresta larga en tres restas cortas:
        100110011101         1001    1001    1101
        010101110010         0101    0111    0010
        010000101011         0100    0010    1011

* Calculando el complemento a dos del sustraendo
i. Complemento a dos
El complemento a dos de un número N, compuesto por n bits, se define como:

C2N = 2n – N

Veamos un ejemplo: tomemos el número N...