Aritmética del Tonalpohualli

ARITMÉI1CA DEL TONALPOHUALll y DEL XIUHPOHUALll*
EDUARDO PIÑA GARZA

En este trabajo se consideran algunas propiedades aritméticas que se
encuentran en el ciclo calendárico de 260 días, llamado comúnmente
tonalpohualli, usado por los antiguos mexicanos, y por semejanza con
esas propiedades se encuentran también conclusiones parecidas en la
cuenta de los años. Algunas repeticiones de hechosdescubiertos por
otros autores han sido necesarias, pero se dan las referencias más im­
portantes. Creemos que son originales varios de los algoritmos aquí
presentados y también algunos de los comentarios.
Llamaremos tonalámatl, como es costumbre, a la representación del
tonalpohualli en los códices y libros.
Agrupamos con el nombre de xiuhPohualli la cuenta de los años
formados por 365días.
Las afirmaciones de este trabajo se adaptan a las costumbres de los
mexicas poco antes de la Conquista. Por supuesto que la mayor parte
de estas consideraciones se extienden a los calendarios usados por otros
pueblos u otras épocas de la región mesoamericana, lo cual se debe a
sus múltiples analogías.
l. Algoritmos del tonalpohualli
Nos referimos primero al tonalpohualli o ciclocalendárico de 260 días,
el cual fue numerado por nuestros antepasados con ayuda de dos com­
ponentes, un entero y un símbolo. El entero se elige de 13 enteros del
1 al 13, representados en ocasiones por círculos; y el símbolo de 20
símbolos o jeroglifos ordenados. Las dos componentes recorren
cíclicamente los trece enteros y los veinte símbolos. Las parejas así for­
madas son ~60 diferemes, quedespués se repiten cíclicamente, en con­
juntos periódicos de 260 días.
* Agradezco al Maestro Rafael Tena, del Departamento de Etnohistoria del INAH, la
lectura cuidadosa de la versión original de este trabajo; lo cual mejoró su contenido con
ayuda de sus conocimientos. y disminuyó los errores del mismo.

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EDUARDO PIÑA GARZA

Los conjuntos de 260 días se encuentran en muchos códices,for­
mando tiras de 5 x 52 cuadretes, como por ejemplo en los códices
Brorgia [1], Cospi [2], Váticano B [3], o 20 páginas de trecenas, como en
los códices Borbónico y Váticano A [4] Y en el Borgia.
Los primeros misioneros incluyeron ese calendario ritual en sus
crónicas, se encuentra por ejemplo en Motolinía [5], Sahagún [6] y
Durán [7]. Pero también se encuentran en monumentos de piedracomo
el llamado Calendario Azteca o Piedra del Sol, en uno de sus círculos
cercano al centro, donde los 20 símbolos están ordenados en el sentido
contrario al de las manecillas del reloj, como lo hizo notar de León y
Gama [8] cuando se descubrió esta piedra a finales del siglo XVIII.
A continuación transcribimos la lista de los nombres de estos 20
símbolos con sus nombres en náhuatl. Laortografía y la traducción las
tomo de Rafael Tena [9].
l. cíPactli
2. ehécatl
3. caUi
4. cuetzpalin
5. cóhuatl
6. miquiztli
7. mázatl
8. tochtli
9. atl
10. itzcuintli
11. ozomatli
12. malinaUi
13. ácatl
14.odlotl
15. cuauhtli
16. cozcacuauhtli
17.olin
18. técpatl
19. quiáhuitl
20. xóchitl

(caimán)
(viento)
(casa)
(lagartija)
(serpiente)
(muerte)
(ciervo)
(conejo)
(agua)(perro)
(mono)
(hierba torcida)
(caña)

Gaguar)

(águila)
(buitre)

(movimiento)

(pedernal)
(lluvia)
(flor)

En lo que sigue usaremos el número de lugar en esta tabla para
representar en forma compacta a cualquiera de estos símbolos.
Dado un número entero X entre 1 y 260, el número n del 1 al 13 se
encuentra por el residuo de dividir X entre 13

~ =a+
13

n

(1)ARITMÉTICA DEL TONALPOHUAlLI y DEL XIUHPOHUALU"

n

=

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donde a es un entero. Excepto cuando el residuo es cero, entonces
13.

y el número a del 1 al 20, que corresponde al símbolo se encuen­
tra por el residuo de dividir X entre 20

X
20

a

b + 20,

(2)

donde b es un entero. Excepto cuando el residuo es cero, entonces a= 20.
Así al número entero X se le hace...