Aritmética Modular

Aritmética modular

Una parte muy peculiar de las ciencias exactas trabaja lo que se denomina aritmética modular. En el fondo, aunque no la hayamos estudiado, todos la conocemos. Imaginemos unas matemáticas que sólo empleasen un número limitado de números; 24, por ejemplo, desde el cero hasta el 23. Si a este último elemento, el 23, le sumamos uno, volvemos a tener un cero. Y si al cero lerestamos uno, tenemos 23. Con este conjunto de números también podemos sumar, resta y multiplicar, pero repito, no son un grupo ilimitado, sino finito. Esta tipo de aritmética fue desarrollada formalmente por el genial Gauss a comienzos del siglo XIX pero, como posiblemente hayáis imaginado, son en el fondo bastante de uso bastante cotidiano.
Dígitos de control
La aritmética modular se emplea amenudo en la vida diaria para validar códigos numéricos, caso del DNI, de los dígitos de control de una cuenta corriente bancaria, o del ISBN para la clasificación de libros. Veamos alguno de estos ejemplos:
Dígitos de control de una cuenta corriente
Un número de cuenta o Código de Cuenta Cliente (CCC) es una cadena de 20 dígitos de la forma EEEEOOOODCNNNNNNNNNN. Los cuatro primeros dígitos (EEEE)representan el código de la entidad bancaria, los cuatro siguientes (OOOO) representan el código de la oficina donde se dio de alta la cuenta, los dos siguientes (DC) son dos dígitos de control y los 10 restantes (NNNNNNNNNN) representan el número de cuenta.
Un número de cuenta se da por válido cuando los dígitos de control que aparecen en el código CCC coinciden con los dígitos de control quese calculan a partir del CCC. En concreto, el dígito D se calcula a partir del código de entidad (EEEE) y del código de oficina (OOOO) utilizando un algoritmo basado en asignar distintos pesos a los dígitos del código de entidad y de oficina y en la aritmética módulo 11. El algoritmo de cálculo de D es como sigue:
1. La tabla de pesos para los dígitos de control correspondientes es:
pos.
E0
E1E2
E3
O0
O1
O2
O3
peso
4
8
5
10
9
7
3
6
2. Se calcula el valor ponderado siguiente: valor = ∑Ei.pi + ∑Oj.pj 
Donde pi y pj son los pesos del correspondiente dígito Ei u Oj, según la tabla anterior.
3. D = 11 - (valor mod 11)
4. Como quiera que sólo se permiten dígitos entre 0 y 9, si D=11 se reemplazaría por D=0; y D=10 se reemplazaría por D=1.



El dígito de control C serefiere al número de cuenta corriente (NNNNNNNNNN) del código CCC y se calcula de forma análoga al dígito anterior:
1. La tabla de pesos correspondiente es:
pos.
N0
N1
N2
N3
N4
N5
N6
N7
N8
N9
peso
1
2
4
8
5
10
9
7
3
6
2. Se calcula el valor ponderado siguiente: valor = ∑Ni.pi 
Donde pies el peso del correspondiente dígito Ni, según la tabla anterior.
3. C = 11 - (valor mod11)
4. Como quiera que sólo se permiten dígitos entre 0 y 9, si C=11 se reemplazaría por C=0; y C=10 se reemplazaría por C=1.
El codigo de barras EAN13

European Article Number o International Article Number es un sistema de códigos de barras adoptado por más de 100 países y cerca de un millón de empresas (2003). En el año 2005, la asociación EAN se ha fusionado con la UCC (Uniform CodeCouncil) para formar una nueva y única organización mundial identificada como GS1, con sede en Bélgica.

El código EAN más usual es EAN13, constituido por 13 dígitos y con una estructura dividida en cuatro partes:
Los primeros dígitos del código de barras EAN identifican el país que otorgó el código, no el país de origen del producto. Por ejemplo, en Chile se encarga de ello una empresa responsableadscrita al sistema EAN y su código es el '780'.

1) Composición del código:

Código del país en donde radica la empresa, compuesto por 3 dígitos.

Código de empresa. Es un número compuesto por 4 o 5 dígitos, que identifica al propietario de la marca. Es asignado por la asociación de fabricantes y distribuidores (AECOC).1

Código de producto. Completa los 12 primeros dígitos.

Dígito...