Aritmética Modular

ARITMÉTICA MODULAR
MATEMÁTICAS BÁSICAS

ARITMÉTICA MODULAR
• Hoy aprenderemos a sumar y multiplicar de otra
manera. Es lo que se conoce como aritmética
modular o aritmética del reloj. La ideaes muy
sencilla, vamos a contar como lo hacemos con las
horas en un reloj, es decir de doce en doce;
después veremos que lo mismo se puede hacer de
cinco en cinco, de seis en seis, etc.…
Luegoaplicaremos esta aritmética a la detección
de errores, a los criterios de divisibilidad y a la
criptografía, es decir al cifrado y descifrado de
mensajes secretos.

ARITMÉTICA MODULAR
• Laaritmética del reloj
• Todos sabemos sumar, restar, multiplicar, hacer
potencias y dividir números enteros, pero en los relojes
ocurren cosas extrañas.
• Vamos a contestar algunas preguntas (suponemosque son las 5):
• ¿Qué hora será dentro de 9 horas?
• ¿Y dentro de 12 horas?
• ¿Y dentro de 38 horas?
• ¿Y dentro de 748 horas?
• ¿Y hace 45 horas?
• ¿Y hace 630 horas?

ARITMÉTICA MODULAREstas situaciones las vamos a representar así:
5 + 9 ≡ 2 (mód 12),
5 + 12 ≡ 5 (mód 12),
5 + 38 ≡ 7 (mód 12),
5 + 748 ≡ 9 (mód 12)
5 – 45 ≡ 5 – 9 ≡ –4 ≡ 8 (mód 12),
5 – 630 ≡ 5 – 6 ≡ –1 ≡ 11 (mód12)
que se leen “5 más 9 es congruente con 2 módulo
12”, etc.….
• Al sumar números del modo anterior, se dice que
estamos haciendo aritmética del reloj o aritmética
modular.
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•ARITMÉTICA MODULAR
• De hecho, en un reloj hay sólo 12 horas, así que
basta usar los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
para designar las horas. El 12 pasa a ser el 0, el 13 el
1,...
•Esto lo escribiremos así:
12 ≡ 0 (mód 12), 13 ≡ 1 (mód 12),...

ARITMÉTICA MODULAR
• De modo más general, diremos que dos números
enteros a y b son congruentes módulo 12, y lo
escribiremos a ≡b (mód 12) si la diferencia a − b es
un múltiplo de 12.
• En un reloj, dos números a y b, que sean
congruentes módulo 12, representan la misma
hora.
• En
particular,
a
≡
0
(mód
12)
si...