Aritmetica Modular

Universidad Nacional Experimental de Guayana
Vicerrectorado Académico
Coordinación General de Pregrado
Ingeniería en Informática
Algebra de Estructuras





Trabajo nº 1
(Aplicaciones de congruencias modulo n)


Profesor: Realizado por:
Luis Astorga.José Salazar C.I: 19.803.300
Frowil Narváez C.I: 20.037.350

Ciudad Guayana, Octubre del 2012
Aplicaciones: Calendarios

Las congruencias se presentan siempre que haya comportamientos cíclicos, los calendarios son formas de contar el tiempo de manera cíclica. Uno de los trescalendarios M Maya desarrollado hace 2500 años fue el calendario Tzolkin y su estudio es una aplicación del Teorema Chino de los Residuos.

1. Calendario Maya

El calendario Tzolkin es un calendario religioso compuesto de 20 meses cada uno de 13 días, esto es, el año Tzolkin tiene 260 días. Los 20 meses en este calendario se presentan en la figura1. Para explicar la forma de contar los días enél, usaremos la figura 2. En la rueda de mayor tamaño aparecen los 20 meses que corresponden al calendario Tzolkin y en la rueda pequeña que está en el interior aparecen los números del uno al trece (escritura maya) en la figura aparece el primer día del calendario correspondiente al primero de Imix, para el segundo día las dos ruedas giran en el mismo sentido, En el sentido de las manecillas delreloj, las el segundo día es el dos de Ik. Esto es, para cada día que sigue cambia el día y el mes. Un problema que se plantea en el calendario Tzolkin es

>Cuantos días han transcurrido desde el 7 Manik hasta el día 5 Cimi?. De forma más general, se debe encontrar el número de días x han transcurrido desde Tzolkin (m; d), donde 1 ≤ m ≤ 20

Figura 1: meses del calendario Tzolkin.Figura 2:

y 1 ≤ d ≤ 13 hasta Tzolkin (m’; d’), donde 1 ≤ m’ ≤ 20 y 1 ≤ d’ ≤ 13. Por el comportamiento cíclico de los días el problema se puede plantear como una congruencia del tipo

X ≡ (d’ ─ d) mod 13

y por el comportamiento cíclico de los meses se puede plantear la congruencia

X ≡ (m’ ─ m) mod 20

Para responder la pregunta que nos ocupa tenemos en cuenta que el día 7 Manik es lapareja (7; 7) y el día 5 Cimi se representa con la pareja (6; 5). Por lo que tenemos las congruencias simultaneas

X ≡ -2 mod 13
X ≡ -1 mod 20

Como (13; 20) = 1 la congruencia se puede resolver usando el Teorema Chino de los Residuos, En este caso M = 13 x 20 = 260 y





Luego X ≡ (─2 x 20 x 2) + (─1 x 13 x 17) mod 260, esto es x ≡ (─ 80 ─ 221)
mod 260 de donde x ≡ 219 mod 260.Es decir que entre el 7 Manik y el 5
Kimi han transcurrido 219 días.

2. Calendario Gregoriano

El calendario Gregoriano se originó en Europa y actualmente es utilizado de manera oficial en casi todo el mundo. Se denomina así porque su promotor fue el Papa Gregorio XIII, surgió en 1582 para reemplazar el calendario Juliano, utilizado desde el año 46 A.C. cuando fue instaurado por JulioCesar. En esta Sección describimos una fórmula para determinar que día de la semana cae una fecha específica del calendario Gregoriano, por ejemplo cual día de la semana sucedió la batalla de Boyacá del 7 de agosto de 1819, o el día en que nació una persona dada una fecha de referencia en el calendario Gregoriano.

Para ello seleccionamos el año 0000, como el año de referencia y asignamos unnúmero a cada día de la semana, así:

domingo | lunes | martes | miércoles | jueves | viernes | sábado |
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |

En particular al primero de marzo del año 0000 le asignamos el valor a con 0 ≤ a ≤ 6. Por lo que al primero de marzo del año siguiente 0001 le corresponde el valor a+1 ya que el año tiene 365 días y como 365 = 52x7+1

Se tiene que 365 ≡ ≡ 1 mod 7. De la...