aritmetica

aritmética
El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término restándole la diferencia al término siguiente. El término de una progresión aritmética esla expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmula del término general de una progresión aritmética es:
a_n = a_1 +{(n-1)}{d} \,
Donde d es un número real llamado diferencia. Si el término inicial de una progresión aritmética es a\, y la diferencia común es d\,, entonces el término n\,-ésimo de la sucesión viene dadapor
a + nd\,, n = 0, 1, 2,... si el término inicial se toma como el cero.
a + (n-1)d\, n = 1, 2, 3,... si el término inicial se toma como el primero.
La primera opción ofrece unafórmula más sencilla, ya que es común en el lenguaje el uso de "cero" como ordinal. Generalizando, sea la progresión aritmética:
a_1, a_2, a_3,..., a_m,..., a_n\, de diferencia d\,
tenemos que:a_1 = a_1\,
a_2 = a_1 + d\,
a_3 = a_2 + d\,
...
a_{n-1} = a_{n-2} + d\,
a_n = a_{n-1} + d\,
sumando miembro a miembro todas esas igualdades, ysimplificando términos semejantes, obtenemos:
(I)a_n = a_1 + (n-1)d\,
expresión del término general de la progresión, conocidos su primer término y la diferencia. Pero también podemos escribir el términogeneral de otra forma. Para ello consideremos los términos a_m\, y a_n\, (m0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.
Ejemplo: 3, 6, 9, 12, 15, 18... (d=3)
d=0:progresión constante. Todos los términos son iguales.
Ejemplo: 2, 2, 2, 2, 2... (d=0)
d0.
Aplicando (I)
a_{1+k} = a_1 + kd \,
a_{n-k} = a_1 + (n-k-1)d \,
Sumamos yobtenemos:
a_{1+k} + a_{n-k} = 2a_1 + (n-1)d \,
el mismo resultado que el obtenido para a_1 + a_n \,.
Concluímos por tanto que la suma del primer y último términos de una progresión aritmética es...