Aritmetica..

INTRODUCCION A LA ARITMETICA.

La aritmética (del lat. arithmetĭcus, y este del gr. ἀριθμητικός,1 ἀριθμός —número—) es la rama de la matemática cuyo objeto de estudio son los números y lasoperaciones elementales hechas con ellos: suma, resta, multiplicación y división.

Al igual que en otras áreas de la matemática, como el álgebra o la geometría, el sentido de «la aritmética» ha idoevolucionando con el progresivo desarrollo de las ciencias. Originalmente, la aritmética se desarrolla de manera formal en la Antigua Grecia, con el refinamiento del rigor matemático y las demostraciones, y su extensión a las distintas disciplinas de las «ciencias naturales».2 En la actualidad, puede referirse a la aritmética elemental, enfocada a la enseñanza de la matemática básica; también al conjuntoque reúne el cálculo aritmético y las operaciones matemáticas, específicamente, las cuatro operaciones básicas aplicadas ya sea a números (naturales, fracciones, etc.) como a entidades matemáticas más abstractas (matrices, operadores, etc); también a la así llamada alta aritmética,3 mejor conocida como teoría de números.

















HISTORIA DE LA ARITMÉTICA.

1- Conceptosde numero en los pueblos primitivos (25,000- 5,000 A. C.). Medir y contar fueron las primeras actividades matemáticas del hombre primitivo. Haciendo marcas en los troncos de los árboles lograban, estos primeros pueblos, la medición del tiempo y el conteo del número de animales que poseían; así surgió la Aritmética.
2- Griegos y romanos no tuvieron una adecuada manera de representar los números,lo que les impidió hacer mayores progresos en el cálculo matemático. Los hindúes, en cambio, habían desarrollado un práctico sistema de notación numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de las cifras. Los árabes dieron a conocer el sistema en Europa a partir del sigloVIII (D.C.). Por eso, nuestras cifras se llaman indoarábigas.
5- El problema de las igualdades no fue conocido por losantiguos en su forma aritmética. El primero que utilizó el signo igual (=), y expuso algunas cuestiones teóricas sobre las igualdades fue Robert Recorde, en su obra “The Ground of Arts”, publicada en Londres en 1542. Más tarde, en el año XVII, el inglés Harriot y el francés Bouguer establecieron el uso de los signos mayor que (>) y menor que ( D, si C < D o si C = D. Si se tiene un conjunto finitode números reales uno puede ordenarlos estrictamente de menor a mayor, o viceversa.
Los reales, al igual que los racionales, es un conjunto cerrado para las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. Con los reales se pueden calcular raíces naturales pares de números reales positivos, raíces naturales impares de reales positivos y negativos, logaritmos de números reales positivos conbase real positiva, pero los reales no forman un conjunto cerrado con estas operariones: No se pueden extraer raíces pares ni logaritmos de números reales negativos, ni tampoco se pueden calcular en general todas las raíces posibles (la raíz enésima tiene n resultados diferentes). Hace falta una ampliación más de los números para cubrir estas deficiencias.


LEYES FORMALES: PRINCIPIO DEPERMANENCIA
La extensión del concepto de número debe hacerse mediante un principio de permanencia de las leyes formales, enunciado por Hermann HANKEL (alemán, 1839-1873): “Al generalizar un concepto se debe tratar de conservar el mayor número de propiedades, y el nuevo concepto debe corresponder como caso particular del anterior”.
Por ejemplo, consideremos la extensión de los números naturales a losenteros, y sea el producto el concepto a conservar. Lo que fija el principio de permanencia en este caso es que el producto de enteros debe conservar la mayor cantidad posible de las propiedades que tiene el producto de naturales y que las propiedades del producto en el campo de los números enteros deben ser iguales a las de los números naturales para el caso particular en que los factores sean...