Aritmetica

Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de objetos matemáticos, generalmente números. Cada uno de ellos es denominado término (tambiénelemento o miembro) de la sucesión y al número de elementos ordenados (posiblemente infinitos) se le denomina la longitud de la sucesión. No debe confundirse con una serie matemática, que es la suma de los términos de una sucesión.
El sumatorio1 ola operación de suma, es un operador matemático que permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos. Se expresa con la letra griega sigma ( , Σ), y se define como:

 las Propiedades de las sumatorias
1) Cuando el límite inferior sea un entero mayor que 1, la cantidad de términos  (sumandos) de una sumatoria se obtiene haciendo: límite superior (n) menos límite inferior (a)más la unidad (1):

Ejemplo:
Hallar la cantidad de términos de la siguiente expresión:

  2) La sumatoria de una constante (k) es igual al producto (la multiplicación) entre dicha constante (k)  y  la cantidad de sumandos (términos) :

Ejemplo:
Hallar la sumatoria de la expresión:

 
3) La suma del producto de una constante (k) por una variable (x), es igual a k veces la sumatoria de lavariable.

Ejemplos:
Hallar la sumatoria de la expresión:


Progresión
Sucesión o serie de números o de términos algebraicos cuyos elementos están en relación y proporción constante.
una progresión aritmética es una sucesión de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es unaconstante, cantidad llamada diferencia de la progresión osimplemente diferencia o incluso "distancia".
Por ejemplo, la sucesión matemática: 3, 5, 7,... es una progresión aritmética de constante 2. Así como: 5 ; 2 ; -1 ; -4 es una progresión aritmética de constante "-3".
d = an - an-1
Término general de una progresión aritmética
an = a1 + (n - 1) · d
an = ak + (n - k) · d
Interpolación de términos q
Sean los extremos a y b, y el número de medios ainterpolar m.

Suma de términos equidistantes
ai + aj = a1 + an

a3 + an-2 = a2 + an-1 = a1 + an
Suma de n términos consecutivos
Suma de los dos términos extremos, y suma de los términos equidistantes de aquéllos [editar]

.
Sea la progresión aritmética de diferencia d :

Sumemos el primer y último términos:

(IV)
Veamos ahora la suma de dos términos equidistantes de los extremos. Éstos serán dela forma  y , siempre que .
Aplicando (I)


Sumamos y obtenemos:

el mismo resultado que el obtenido para .
Concluímos por tanto que la suma del primer y último términos de una progresión aritmética es igual a la suma de dos términos equidistantes de los extremos:

El término central de una progresión aritmética[editar]
En una progresión aritmética con un número impar detérminos, término central ac es aquél que por el lugar que ocupa en la progresión equidista de los extremos a1 y an de ésta.
Sea la progresión aritmética a1, a2, a3,...., ac,...., an-2, an-1, an de diferencia d, y término central ac. De acuerdo con la expresión del término general en (I)

pero para el término central

sustituímos este valor de c y resolvemos:
(V)
y comparando con (IV) es evidente que:Resumiendo, hemos demostrado que:
(VI)
Esta propiedad nos va a permitir calcular la suma de todos los términos de una progresión aritmética.
Suma de todos los términos de una progresión aritmética[editar]
La suma de los términos en un segmento inicial de una sucesión aritmética se conoce a veces como serie aritmética. Existe una fórmula para las series aritméticas. La suma de los n primerosvalores de una sucesión finita viene dada por la fórmula:

donde  es el primer término y  el último. Demostrémoslo.
Sea una progresión aritmética de término general  y de diferencia d:

aplicando la propiedad conmutativa de la suma:

Sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores, y aplicando la propiedad asociativa de la suma:

pero según IV, y según VI sabemos que todas las...