Aritmetica

UNIDAD 1: ESTUDIEMOS SUCECIONES ARITMETICAS Y GEOMETRICAS.


Sucesiones

     Una sucesión es un conjunto de números  que son imagen de una función, cuyo dominio son, (normalmente), los enteros positivos, comenzando a partir del 1.
      Bueno, bueno, no nos preocupemos por las definiciones más o menos rigurosas o académicas; la forma más fácil de "visualizar" una sucesión es pensar envarios números , por ejemplo,  la población en millones de habitantes que tienen varios países, y luego ordenar esos números: en la primera posición (n=1), ponemos la nación con más población, y así sucesivamente en orden decreciente, hasta llegar a la menor cantidad de población: en el caso de que tuviéramos una lista con 12 países, el menor en habitantes estaría situado en la posición décimosegunda, n=12. En general, las sucesiones numéricas sirven para ordenar números, en cantidades finitas como en el ejemplo anterior, o en cantidades infinitas, como por ejemplo, sn= 1/n, la cual tiene infinitos elementos: ¿cuáles son?, bien, ya hemos dicho que,  n = (1,2,3,4,5...y así sin fin), por lo que el primer elemento será 1/1 = 1, el siguiente, (como fácilmente puede adivinarse) es,  1/2 = 0.5,etc. Si quisiéramos saber cuál es el elemento que ocupa la posición 1320, sólo tendremos que hallar el inverso de este número, es decir: 1 / 1320. La expresión  sn= 1/n, se denomina "término general de la sucesión", es una forma de escribir de manera compacta la sucesión; cuando sabemos como se "comportan" los elementos de la sucesión, podemos escribir una fórmula que nos de el valor numérico paracualquier posición, por ejemplo, si tengo la colección infinita de números: 2,4,6,8,..., es fácil ver su comportamiento; el primero termino, (n=1), es el 2, a partir de entonces los siguientes se obtienen sumando 2 al anterior, y en vez de escribir todos los elementos para "ver" la sucesión (ridículo e imposible a la vez), lo que hacemos es escribir: sn = 2n.

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 La idea clave sobre elconcepto de sucesión es la de " una colección de elementos ordenada”. Si quitamos la palabra "ordenar", entonces ya no tenemos una sucesión; lo que tendremos es un conjunto de zapatos, coches, estrellas, sucesiones ( ! Si ¡, sucesiones de sucesiones), números, etc.,
y no sabremos responder a preguntas como: ¿cuál es el lugar que ocupa Sirio en la lista de las estrellas más brillantes? o ¿cuántosnúmeros primos hay hasta  1000?. Si no hacemos una lista de estrellas en función de su brillo, o de números primos, no podremos contestar a las cuestiones anteriores.
     En la gráfica de arriba puedes ver una sucesión de números reales (3, 9, 27,...) que están relacionados entre sí, es decir, existe una característica común entre ellos y es, que todos se obtienen al tomar el anterior ymultiplicarlo por 3. Pues bien, toda sucesión que cumpla que cualquier elemento de la misma sea igual al anterior multiplicado por un número, que llamaremos r , se denomina sucesión geométrica. En el ejemplo anterior se puede ver que  se trata de una sucesión de números reales (creciente), siendo r =  3  y  S1 = 3 (el primer elemento). Desde luego, es muy fácil ver lo que sucede
cuando n toma valores muyelevados (para n = 1000, n = 1000000000000...), la sucesión 3n nos va a dar números muy grandes. Si los elementos de la sucesión representaran distancias (por ejemplo en metros, o lo que quieras), obtendríamos longitudes  superiores al tamaño del  mismo Universo, o dicho con otras palabras, no es posible pensar en un número que sea  mayor que los números que pueden conseguirse con la sucesión 3n,lo cual  implica que no esta "acotada" superiormente. Lo de acotación significa encajar o limitar entre dos valores: ¿podemos encontrar "dos números" entre los cuales estén (3, 9, 27, 81,...)?, pues no, sólo podemos decir están entre el 3 ( u otro más pequeño) y el infinito, pero infinito no es un número concreto, ¿verdad?,  por lo que podemos decir que no esta acotada, o que solamente tiene...