Aritmética

I

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

Página 100
1

De entre las ecuaciones siguientes:
3x 2 + 5x – 2 = 0
2x 2 – 4 = 0
x2 + x – 1 = 0
9x 2 + 4 = 0
a) Señala las que no tienen soluciones en Q.
b) ¿Cuáles tienen solución en Á?
Resolución
Resolvemos las ecuaciones:
x = –2
3x 2

+ 5x – 2 = 0

1
x=—
3
—

2x 2

x = √2
—
x = – √2

–4=0

—

–1 + √ 5
x=—
2 —
–1 – √ 5
x=—
2x2 + x – 1 = 0

9x 2 + 4 = 0 no tiene solución.

a) No tienen solución en

Q: 2x 2 – 4 = 0; x 2 + x – 1 = 0; 9x 2 + 4 = 0

b) Todas tienen solución en

2

4

Á salvo 9x 2 + 4 = 0.

12

Compara √5 y √120 reduciéndolas a índice común.
Resolución
4

Como √5 =
4

3·4

12

√53 = √125 , resulta que:

12

√5 > √120

Bloque I. Aritmética y álgebra

1

3

Efectúalas siguientes operaciones y simplifica:
—

4

6

8

a) √a 3 – 2a √a 2 + 3a √a 3 – √a 12

b)

c) (√2 + √3 )(√6 – 1)

d)

—

√98 – √18
· 30 √3
—
√96
5

√6

+

2
—

—

√6 + 3 √2

–

4 √2

√3

Resolución
a) a √a – 2a √a + 3a √a – a √a = a √a
—

b)

—

7 √2 – 3 √2
—

4 √6

—

· 30 √3 =

4 √2

—

4 √6

—

30 √ 6

· 30 √3 =

—

√6= 30

c) √12 – √2 + √18 – √3 = 2 √3 – √2 + 3 √2 – √3 = √3 + 2 √2
—

d)

5

√6

+

—

2 (√ 6 – 3 √ 2 )
—

—

(√6 )2 – (3 √2 )2

—

—

—

—

—

—

4 √2 √3
5 √6 2 √6 – 6 √2 4 √6
–
–
–
=
=
3
6
12
3
—

—

—

—

5 √ 6 √ 6 – 3√ 2 4 √ 6
–
–
=
=
6
6
3
—

—

—

—

—

—

5 √6 – √6 + 3 √2 – 8 √6
3 √2 – 4 √6
=
=
6
6
4

Si log k =–1,3 calcula el valor de las siguientes expresiones:
a) log k3

b) log

1
k

c) log

k
100

Resolución
a) log k 3 = 3 log k = 3(–1,3) = –3,9
b) log
c) log

5

1
= log 1 – log k = 0 – (–1,3) = 1,3
k
k
= log k – log 100 = –1,3 – 2 = –3,3
100

Halla x en cada caso:
b) |x 2 – 3| = 1

a) |7 – 3x| = 2
Resolución

a) |7 – 3x| = 2

5
7 – 3x = 2 8 x = —
3
7 – 3x = –28 x = 3

Soluciones: x1 =

2

5
; x2 = 3
3
Bloque I. Aritmética y álgebra

BLOQUE

x
x
x
x 2 – 3 = –1 8 x 2 = 2 Ό
x
8 x2 = 4 Ό

x2 – 3 = 1
b) |x 2 – 3| = 1

=
=
=
=

I

2
–2
—
√ 2—
– √2

Soluciones: x1 = 2; x2 = –2; x3 = √2 ; x4 = – √2

6

Calcula x para que 2 x + 1 = 3x.
Resolución
2 x + 1 = 3x 8 (x + 1) log 2 = x log 3 8 x log 2 – x log 3 = – log 2
x(log 2 – log 3) = – log 2 8 x =

–log 2
= 1,71
log 2 – log 3

Solución: x = 1,71

7

El precio de la leche subió un 15% en enero y un 18% en febrero, y bajó un
20% en marzo. ¿Cuál ha sido la subida total en esos tres meses?
Resolución
Si el precio de la leche es p, tenemos los siguientes aumentos y disminuciones:
enero

8 p · 1,15

febrero 8 (p · 1,15) · 1,18
marzo

8 (p · 1,15· 1,18) · 0,80

El precio final es p · (1,15 · 1,18 · 0,80) = p · 1,0856.
Por tanto, la subida total ha sido de un 8,56%.

8

Depositamos un capital de 5 000 € al 6% anual durante 3 años y 3 meses. Calcula en cuánto se transforma si el periodo de capitalización es:
a) Trimestral
b) Mensual
c) Di, en cada caso, cuál es la T.A.E.
Resolución
6
= 1,5% trimestral.
4

a) Un 6% anualsignifica un

3 años y 3 meses son 13 trimestres. Así,

(

CF = 5 000 1 +

Bloque I. Aritmética y álgebra

1,5
100

)

13

= 6 067,76 €

3

6
= 0,5% mensual.
12

b) Un 6% anual significa un

3 años y 3 meses son 39 meses. Así,

(

CF = 5 000 1 +

0,5
100

)

39

= 6 073,60 €

c) • La T.A.E. correspondiente a un 6% anual con períodos de capitalizacióntrimestrales, es:
6
6% anual 8
= 1,5% trimestral 8 1,015 trimestral
4
Como son 4 trimestres, 1,0154 = 1,0614.
Por tanto, la T.A.E. es del 6,14%.
• La T.A.E. correspondiente a un 6% anual con períodos de capitalización mensuales, es:
6
6% anual 8
= 0,5% mensual 8 1,005 mensual
12
Como son 12 meses, 1,00512 = 1,0617.
Por tanto, la T.A.E. es del 6,17%.
9

Recibimos un préstamo de 10 000 €...