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CAPITULO 17

MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS DE PISO

RESUMEN
Se presenta el cálculo de la matriz de rigidez de una estructura en la cual se consideran tres
grados de libertad por planta, orientado al análisis sísmico espacial de edificios considerando que los
pisos son completamente rígidos. En el modelo numérico de cálculo se considera que los pórticos son
elementos de una estructuraque se unen por medio de una losa o diafragma horizontal en cada uno
de los pisos. Se analiza cuales son las submatrices que conforman la matriz de rigidez en
coordenadas de piso con el propósito de que el lector aprenda a decidir una buena estructuración
sísmica de un edificio de acuerdo a un determinado objetivo que puede ser, por ejemplo que la
estructura tenga una gran rigidez torsional.Por otra parte se presenta el cálculo del Centro de Rigidez de tres maneras, la primera en
forma matricial y es la más exacta; la segunda en forma muy aproximada por medio de la rigidez “t” y
la tercera en base a la matriz de rigidez de piso de cada uno de los pórticos.

17.1 DESCRIPCIÓN DEL MODELO
En la figura 17.1, a la izquierda, se presenta un edificio de cuatro pisos compuesto por cuatropórticos, el modelo es aplicable a un edificio con cualquier número de pisos y pórticos. En cada planta
de la estructura se ha definido el Centro de Masas y en ese punto se han ubicado los tres grados de
libertad por planta que son dos componentes de desplazamiento horizontal y una rotación de piso.
La numeración de los tres grados de libertad por planta es arbitrario sin embargo esconveniente numerar primero todas las componentes de desplazamiento horizontal según el eje X
empezando desde la primera planta hasta la última planta; luego todas las componentes de
desplazamiento horizontal según el eje Y así mismo empezando desde la primera planta hasta la
última y finalmente las rotaciones de piso como lo muestra la figura 17.1. A éstos tres grados de
libertad por planta sedenomina sistema Q − q ya que son coordenadas de la estructura. Donde Q

Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE

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es el vector de cargas aplicadas en el centro de masa de la estructura y q el vector de coordenadas
de piso.

4
8
4

12

3
7
11

3
2

6
2

10

1

5
1

9

Q-q

P-p

Figura 17.1 Coordenadas de la Estructura y Coordenadas de un Elemento
Para la estructurade la figura 17.1 se tiene que los vectores de cargas y coordenadas
generalizadas tienen la siguiente forma y significado.

QX

qX

Q = QY

q = qY

Qθ

qθ
Q5

Q1
QX =

qX =

Q2
Q3

QY =

Q6
Q7

Q4

Q8

q1

q5

q2
q3
q4

qY =

q6
q7
q8

Q9

Qθ =

Q10
Q11
Q12

q9
qθ =

q10
q11
q12

donde Q1 es la fuerza horizontal aplicada en el primerpiso en sentido X positiva si va hacia la
derecha, Q2 similar a Q1 pero en el segundo piso,….., Q5 es la fuerza horizontal aplicada en el

Q − q , Q6 similar a Q5 pero en
el piso 2,…., Q9 es el momento de torsión aplicado en el primer piso positivo si es antihorario, Q10
primer piso en sentido Y positivo si está en la dirección del sistema
momento de torsión aplicado en el segundo piso, etc.ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

525

Por otro lado se tiene que q1 es la componente de desplazamiento horizontal en sentido X
del primer piso, q 2 es similar a q1 pero en el piso 2,…., q 5 es la componente de desplazamiento
horizontal en sentido Y del primer piso, q 6 similar a q 5 pero en piso 2,…., q 9 es la rotación por
torsión en el primer piso, q10 es la rotación por torsión enel segundo piso, etc. Serán positivas si

Q−q.

están en el sentido del sistema

17.2 HIPÓTESIS DEL MODELO
Como se indicó se considera que cada pórtico plano es un elemento de la estructura cuyo
sistema de coordenadas de miembro está conformado por las coordenadas laterales de cada uno de
los pisos. En la figura 17.1 a la derecha se indica el sistema de coordenadas P − p de los...