Arquimides

Arquímedes nació en Siracusa (una ciudad griega en Sicilia) alrededor del 287 aC y fue asesinado en el 212 aC cuando Siracusa fue conquistada por Roma durante la II Guerra Púnica.
"Entre sus másfamosos resultados están el cálculo del volumen y de la superficie esférica y el área del segmento parabólico. Arquímedes descubrió estos resultados usando métodos no rigurosos y después los confirmócon el método de exhausción." (Stillwell)
En su trabajo "El Método", Arquímedes escribió sobre su método de descubrimiento. El "método mecánico" de Arquímedes se basa en la ley de la palanca. "En él,Arquímedes muestra el método que presumiblemente usó para obtener mucha de sus conclusiones en problemas sobre áreas y volumenes. Dándose cuenta de que es muy ventajoso tener una noción preliminar delresultado antes de llevar a cabo la demostración geométrica deductiva, Arquímedes empleó para este propósito, junto con su ley de la palanca, la idea de una superficie como formada por líneas."(Boyer)
Aquí intentamos mostrar como Arquímedes descubrió el área de un segmento parabólico.
El área de un segmento parabólico es 4/3 el área del triángulo que tiene la misma base y vértice.

Considróun segundo triángulo usando una tangente. Este triángulo es 4 veces el primero. Y el área de este segundo triángulo resulta ser 1/3 el área del segmento parabólico.

El segmento parabólico y estesegundo triángulo estarán en equilibrio pero uno de los brazos de la balanza será tres veces más largo:
La construcción de Arquímedes es más general que la que mostramos aquí. Podemos leer laexplicación en el libro de Boyer:

"V es el vértice de la parábola, BC es tangente en B, BD = DP, y X es cualquier punto en AB, sabemos por las propiedades de la parábola que para cualquier posición de Xtenemos la proporción"

Pero X'' es el centro de gravedad de XX''', por lo tanto, por la ley de la palanca, vemos que XX', si lo llevamos hasta P como su punto medio, equilibrará XX''' en su posición...