Arquitectura

1.2 Distancia entre dos puntos
En La gráfica siguiente tenemos 2 rectas: una horizontal que pasa por y = 5, y una vertical que para por X = 9. sobre cada recta hay dos puntos. Sobre la recta que pasa por 9 tenemos los puntos (9,-1) y (9,6) ¿Cuál es la distancia entre los dos puntos? Si medimos con una regla, encontramos que esa distancia es 7 cm. Pero 7 = 6 – (-1) = 6 + 1 = 7. Pero 6 y –1son las coordenadas en y.
En general se tiene que, para 2 puntos sobre una recta vertical, la distancia es y2 – y1, siendo y2 el mayor.
De igual forma tenemos que, para 2 puntos sobre una recta horizontal, la distancia es X2 – X1, siendo X2 el mayor.
Para el caso de la recta horizontal mostrada, la distancia es: 7 – (-1) = 7 + 1 = 8 cm.


6

5

4

3

2

1

-1-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9








Supongamos ahora que queremos medir la distancia entre los puntos (1,1) y el punto (5,4) Si medimos con una regla encontramos que es 5 cm. Pero a esta respuesta también se llega aplicando Pitágoras, pues setiene un triángulo rectángulo.
Para el cateto horizontal se tiene una distancia de: X2 – X1 = 5 – 1 = 4 cm
Para el cateto vertical se tiene una distancia de: y2 – y1 = 4 – 1 = 3 cm
Al aplicar Pitágoras, se tiene que la distancia es: d = 42 + 32 = 25 = 5 cm

la distancia, d, entre 2 puntos es: d = (X2 – X1)2 + (y2 – y1)2
En esta ecuación no importa si X2 es mayor omenor que X1.
Actividad 2. Encuentren la distancia entre los siguientes pares de puntos: 1. (2,8) y (5,8) ____
2. (3,8) y (5,8) ____ 3. (4,8) y (5,8) ____ 4. (-2,8) y (5,8) ____ 5. (-4,8) y (5,8) ____
. (3,-8) y (5,-8) ____ 7. (4,-8) y (5,-8) ____ 8. (-2,-8) y (5,-8) ____ 9. (-4,-8) y (5,-8) ____
1.3 Inclinación y pendiente de una rectaInclinación. La inclinación de una recta es el ángulo que forma con la horizontal
63.43º
Pendiente. La pendiente m de una recta es la tangente del ángulo de inclinación.

Si conoces las circunstancias de tu vida como un plano cartesiano, lograrás ubicarte bien, de manera que no te inclinarás ante nadie.

l

En el plano cartesiano anterior, la recta ltiene una inclinación de 63.43º Esto significa que su pendiente es: Tan (63.43º) = 2
Lo anterior nos lleva a la conclusión que la inclinación de una recta es la tangente inversa de la pendiente.
Para el caso anterior, como la pendiente es 2, entonces la inclinación es: Tan-1 (2) = 63.43º
Para una recta que pasa por 2 puntos conocidos, su pendiente viene dada por la fórmula:
m = (y2 – y1) /(X2 – X1)

Ejemplo. Calcular la pendiente y la inclinación de las rectas siguientes: 1. La que pasa por los puntos (2,10) y (4,16) 2. La que pasa por los puntos (2,-3) y (4,-7)
Solución.

Los puntos son (2,10) y (4,16)
La pendiente es: m = (16 – 10) / (4 – 2) = 6/2 = 3
El ángulo de inclinación es: Tan-1 (3) = 71.6º

Los puntos son (2,-3) y (4,-7)
La pendiente es: m = (-7 – (-3))/ (4 – 2) = (-7 + 3) / 2 = -4/2 = -2
El ángulo de inclinación es: Tan-1 (-2) = -63.43º
Observemos que la pendiente y la inclinación son negativas. –63.43 nos indica que es un ángulo medido hacia abajo del eje X positivo. Esta recta es la siguiente:
-63.43º
θ



Surge la pregunta: ¿qué ángulo forma hacia arriba del eje X? Larespuesta es sencilla. Se tiene que 63.43º + θ = 180º Por lo tanto θ = 180º - 63.43º = 116.57
No olvidemos que Tan –63.43 = Tan 116.57º
El ángulo puede expresarse como 116.57º ó -63.43º
Se concluye que de 0º a 90º, la pendiente es POSITIVA. De más de 90º a menos de 180º, la pendiente es NEGATIVA.
Además, una recta horizontal tiene pendiente CERO; y una vertical tiene pendiente INFINITA....