arreglos factoriales

El término “experimento factorial” o “arreglo factorial” se refiere a la constitución de los tratamientos que se quieren comparar. Diseño de tratamientos es la selección de los factores a estudiar, sus niveles y la combinación de ellos.
El diseño de tratamientos es independiente del diseño experimental que indica la manera en que los tratamientos se aleatorizan a las diferentes u.e. y lasformas de controlar la variabilidad natural de las mismas.

Así, el diseño experimental puede ser completamente al azar, bloques al azar, bloques al azar generalizados, cuadro latino, etc. y para cada uno de estos diseños se puede tener arreglo factorial de los tratamientos, si estos se forman por la combinación de niveles de varios factores.
A ambos tipos de diseños, el de tratamientos y elexperimental, les corresponde un modelo matemático.

Así, por ejemplo, si el diseño experimental es bloques al azar, el modelos es:
yij = μ + τi + βj + ǫij respuesta = media general + efecto de tratamiento + efecto de bloque + error. Si se trata de un diseño factorial, los tratamientos se forman combinando los niveles de los factores en estudio, de manera que el efecto del tratamiento τi se consideraa su vez compuesto de los efectos de los factores y sus interacciones.
Por ejemplo, si son dos factores en estudio se tiene:
τi = τkl = αk + γl + ξkl tratamiento = factor A + factor B + interacción AB

Haciendo una equivalencia entre los valores de i y los de k y l suponiendo que el factor A tiene K niveles y el factor B L:

i k l
1 1 1
2 1 2
3 1 3
.. .. ..
t K L

Y el modeloresultante es:
yklj = μ + αk + γl + ξkl + βj + ǫklj
Es poco usual tener diseños experimentales muy complicados en los experimentos factoriales, ya que se dificulta el análisis y la interpretación.

La necesidad de estudiar conjuntamente varios factores obedece a la posibilidad de que el efecto de un factor cambie según los niveles de otros factores, esto es, que los factores interactúen, o existainteracción. También se utilizan los arreglos factoriales cuando se quiere optimizar la respuesta o variable dependiente, esto es, se quiere encontrar la combinación de niveles de los factores que producen un valor óptimo de la variable dependiente.(superficie de respuesta) Si se investiga un factor por separado, el resultado puede ser diferente al estudio conjunto y es mucho más difícil describir elcomportamiento general del proceso o encontrar el óptimo.





Las ventajas de los experimentos factoriales son:

1. Economía en el material experimental al obtener información sobre varios factores sin aumentar el tamaño del experimento. Todas las u.e.se utilizan para la evaluación de los efectos.
2. Se amplía la base de la inferencia en relación a un factor, ya que se estudia en lasdiferentes condiciones representadas por los niveles de otros factores. Se amplía el rango de validez del experimento.
3. Permite el estudio de la interacción, esto es, estudiar el grado y forma en la cual se modifica el efecto de un factor por los niveles de los otros factores.
Una desventaja de los experimentos factoriales es que requiere un gran número de u.e., sobre todo cuando se pruebanmuchos factores o muchos niveles de algunos factores, es decir, se tiene un número grande de tratamientos.(factoriales fraccionales)

Suponga un diseño con dos factores: A con a niveles y B con b niveles, en diseño completamente al azar. (Factorial a × b completo, balanceado, efectos fijos)
Sea yijk la respuesta para la k-ésima u.e. del nivel i de A y j de B.

yijk = μ + τi + βj + γij + ǫijk
i =1, . . . , a j = 1, . . . , b k = 1, . . . , n

Las hipótesis que se prueban son:

H01 : γij = 0 8 i, j
H02 : τi + ¯γi. = 0 8 i
H03 : βj + ¯γ.j = 0 8 j

Ejemplo de un factorial 2 × 2 sin y con interacción.

Conocer la interacción es más útil que conocer los efectos principales. Una interacción significativa frecuentemente oscurece la significancia de los efectos principales.
Cuando...