ART Introduccion_al_Calculo_de_Integrales_Aplicaciones

INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE
INTEGRALES. APLICACIONES

1.- PRIMITIVAS .......................................................................................................... 2
2.- INTEGRALES INMEDIATAS SIMPLES. TABLA ................................................ 2
3.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE................................................... 5
4.- INTEGRACIÓN POR PARTES.............................................................................. 7
5.- PARA PRACTICAR ............................................................................................... 8
6.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES .............................................. 10
Caso 1: El polinomio Q  x  tiene sólo raíces reales simples: ................................ 10
Caso 2: Que el polinomioQ  x  tenga una raíz real múltiple:............................... 10
Caso 3: Que el polinomio Q  x  tenga raíces reales simples y múltiples:.............. 11
Caso 4: Que el polinomio Q  x  tenga raíces complejas conjugadas:.................... 11
7.- INTEGRACIÓN DE FUNCIONES CIRCULARES .............................................. 12
8.- INTEGRALDEFINIDA........................................................................................ 12
Teorema del Valor Medio.................................................................................... 14
Teorema Fundamental del Cálculo ...................................................................... 15
Regla de BARROW ............................................................................................ 15
Aplicación:Problemas de valores iniciales .......................................................... 15
9.- APLICACIÓN: CÁLCULO DE ÁREAS ............................................................... 16
Recinto Limitado por la curva y = f (x), el eje OX y las rectas x = a y x = b ........ 16
Recinto limitado por dos curvas, y = f (x) e y = g (x), en el intervalo [a, b]........ 17

1.- PRIMITIVAS
Sean f : D    y F : D     funciones reales de variable real. Se dice que
F es una primitiva de f cuando F '  x   f  x 

x  D .

Ejercicio1.

Comprueba, en cada caso, que F es una primitiva de f:
x3
1) F  x   4 x 4  2  287
f x  
3
4
x4  2



2) F  x  
3) F  x 

1
 1 
 ln 

x 1
 x  1

x


2

 1

f x  



x2
1  x 2

6

f  x   2 x  x 2  1

6

5Ejercicio2. Calcula una primitiva de las siguientes funciones:
1) y  x 2
5) y  x
2) y  sen x
6) y  x 3
3) y  5 x 4  2
4) y  e 2 x

Ejercicio3.

7) y  1 x
8) y  x  k con k  

Halla la primitiva de f  x   e 2 x que valga e para x  0 .

Nótese que si una función f tiene una primitiva F también F + k (siendo k   ) es
una primitiva de f .
Al conjunto de todas las primitivas de una función dadaf , lo representaremos por

 f x dx  F : F es una primitiva de f   F : F ' x   f x 
y se lee: integral indefinida de f.
Las siguientes propiedades se deducen de las correspondientes propiedades de las
derivadas.
Propiedades inmediatas:
(1)   f  x   g  x dx   f  x dx   g  x dx
(2)  c  f  x  dx  c  f  x  dx con c  
Estas dos propiedades se pueden resumirdiciendo que la integral indefinida se
comporta bien con la suma y el producto por escalares.

2.- INTEGRALES INMEDIATAS SIMPLES. TABLA
La siguiente tabla de integrales inmediatas se obtiene calculando la correspondiente
primitiva de la función, por lo que es muy importante no perder nunca de vista de dónde
han salido esas integrales, esto es, el concepto de primitiva de una función. Ahora bien,
2Departamento de Matemáticas

como se suelen usar mucho y son la base para calcular otras integrales más complejas es
conveniente memorizar dicha tabla.
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
TIPOS
Simple
Potencial
n  1
Logarítmico

n 1

n

x

dx 

1

 x dx  ln x + k
 e dx  e  k
x

Exponencial
Seno

x
+k
n 1

x

ax
k
ln a
 cos xdx  sen x + k
x
 a dx 

Tangente

 sen xdx   cos x + k
...