Arte

Sistemas de un Grado de Libertad Sujetos a Vibraci´n Forzada. o
Jos´ Mar´ Rico Mart´ e ıa ınez Departamento de Ingenier´ Mec´nica ıa a Divisi´n de Ingenier´ Campus Irapuato-Salamanca o ıas, Universidad de Guanajuato Salamanca, Gto. 38730, M´xico e email: jrico@salamanca.ugto.mx

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Introducci´n o

En estas notas se presentan los fundamentos te´ricos de los sistemas de un o grado delibertad sujetos a vibraci´n forzada. El objetivo de estas notas es o su empleo como un auxiliar did´ctico en los cursos de vibraciones mec´nicas. a a En esta secci´n, se analizar´ la respuesta de un sistema vibratorio de un o a grado de libertad sujeto a vibraci´n forzada, se analizar´n tres diferentes o a casos: 1. La excitaci´n del sistema est´ dada por una fuerza arm´nica de amplio a o tud constante.2. La excitaci´n del sistema est´ dada por una fuerza arm´nica de amplio a o tud proporcional al cuadrado de la frecuencia de excitaci´n. o 3. La excitaci´n del sistema est´ dada por un movimiento arm´nico de la o a o base del sistema, que en este caso no est´ fija, adem´s la amplitud del a a movimiento es constante.

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Excitaci´n constituida por una fuerza aro m´nica de amplitudconstante o

Considere un sistema vibratorio de un grado de libertad sujeto a vibraci´n o forzada, bajo una excitaci´n representada por la funci´n F (t) = F0 Sen ω t, o o est´ excitaci´n es una fuerza arm´nica de amplitud constante y frecuencia a o o ω. Vea la figura 1.

Figure 1: Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sujeto a Vibraci´n o Forzada. Para obtener la ecuaci´n de movimiento delsistema. Suponga que a o partir de la posici´n de equilibrio del sistema, el sistema se separa de su o posici´n de equilibrio una distancia y(t) comprimiendo el resorte y se le da o una velocidad dada por y(t) en la direcci´n positiva. Entonces, observando el ˙ o diagrama de cuerpo libre de la masa, vea la figura 2, y aplicando la segunda ley de Newton, se tiene que1 ΣFy = M o −M g + k δest − k y(t) − c1

d2 y(t) d t2

;

−M g+k (δest − y(t))−c

d y(t) d2 y(t) +F0 Sen ω t = M , dt d t2

d y(t) d2 y(t) + F0 Sen ω t = M . dt d t2

Adem´s se supondr´ que y(t) < δest , de manera que el resorte est´ sujeto a tensi´n, a a a o la ecuaci´n de movimiento del sistema es independiente de esta suposici´n, el objetivo es o o evitar ambig¨dades en la derivaci´n de la ecuaci´n. e o o

2Figure 2: Diagrama de Cuerpo Libre Para un Sistema Vibratorio de un Grado de Libertad Sujeto a una Fuerza Arm´nica de Amplitud Constante. o Por lo tanto, sustituyendo la ecuaci´n (1) o δest = Mg k (1)

que determina la deformaci´n est´tica del resorte, se obtiene la ecuaci´n de o a o movimiento del sistema vibratorio M d2 y dy + c + ky = F0 Sen ω t, dt2 dt (2)

donde, M es la masa del sistema, kes la constante del resorte, c es la constante del amortiguador, y es la variable que representa el movimiento de la masa y t es el tiempo. La ecuaci´n (2) es una ecuaci´n diferencial lineal de segundo orden, pero o o a diferencia de las secciones anteriores, esta ecuaci´n diferencial es no hoo mog´nea. Nuevamente de la teor´ de las ecuaciones diferenciales ordinarias, e ıa se sabe que la soluci´ngeneral de la ecuaci´n (2) est´ dada por o o a yG (t) = yH (t) + yP (t), (3)

donde, yH (t) es la soluci´n de la ecuaci´n homog´nea asociada; es decir, la o o e soluci´n de la ecuaci´n diferencial que se obtiene eliminando la excitaci´n o o o 3

F (t) = F0 Sen ω t, esta parte de la soluci´n se denomina respuesta en el o estado transitorio y yP (t) es una soluci´n de la ecuaci´n no homog´nea,o o e esta parte de la soluci´n se denomina respuesta en el estado permao nente o estacionario. La soluci´n de la ecuaci´n homog´nea asociada se o o e representar´ por a
⎡

yH (t) = e

− 2c M
c

t

⎣ C1 e

(

c 2M

)

2

k −M

t

+ C2 e

−

(

c 2M

)

2

⎤
k −M

t

⎦

(4)

= e− cc ωn t A Cos ωn 1 − (c/cc )2 t + B Sen ωn 1 − (c/cc )2 t Evidentemente,...