Articulo cientifico calculo i

Tres Problemas que sirvieron de base a la introducción del concepto de Derivada

Ailyn Acosta García1 Juan Miguel Valdés Placeres2

Introducción El concepto de derivada, ocupa un lugar posterior, en el ordenamiento de los temas que usualmente se siguen en un curso de cálculo o estudio de las funciones y sus propiedades más importantes; no obstante los problemas que históricamente dieron lugara su uso y formulación, no hacen que la derivada haya sido utilizada en formas más o menos elaboradas, antes de la formalización y conexión con el límite y la continuidad. Al respecto se afirma “A Newton (1642 - 1727) le debemos el primer intento por desarrollar la teoría de los límites, como base lógica del cálculo diferencial…” [1] y por supuesto que esta afirmación indica, que los límitesestán en la base de la formalización y práctica con las derivadas. Para darle introducción al concepto de derivada, lo haremos con tres problemas que fueron la base objetiva, que motivó a los geniales matemáticos del siglo XVII a la introducción de los conceptos de derivada y diferencial de una función. Uno de los principales, fue el de la determinación de la recta tangente a una curva en un punto deesta. Este problema tiene remotos antecedentes en la Grecia antigua, solo que el criterio utilizado, es para algunas curvas demasiado amplio y restrictivo a la vez, pues se hacía para cada caso particular. En la antigüedad se avanzó poco en esta dirección, pero vale la pena destacar que Arquímedes fue capaz de determinar la recta tangente a varias curvas, en especial, a la hoy llamada “espiral deArquímedes”. En realidad fue Fermat el iniciador de trabajos fructíferos, relacionados con el trazado de la recta tangente a la curva. En esta época también se distingue el trabajo de otros matemáticos, sin embargo fue el inglés Issac Barrow, el maestro de Newton, quien por primera vez resolvió este problema.

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Estudiante de Primer Año de la Carrera de Informática. Universidad de Pinar delRío. Cuba Profesor del Departamento de Matemática. Universidad de Pinar del Río. Cuba

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Desarrollo La sencilla idea de Barrow se basa en lo siguiente: si denotamos por S a la recta secante en los puntos P y Q de una circunferencia, y si manteniendo el punto Q sobre la circunferencia lo acercamos al punto P, la recta S irá girando alrededor del punto P hasta alcanzar la posición de la rectatangente T. (fig 1)

T

S Q

S Q Q Q S S

P

Fig. 1
Lo anteriormente dicho en el lenguaje funcional significa que, dada la curva y = f(x) y dos puntos P y Q, situados en el gráfico de la función, al hacer tender ∆x hacia cero, la recta secante tiende a ocupar la posición de la recta tangente (Fig. 2), luego

mt =

∆x

lim 0

f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆x

Y f(x0+∆x)

T

SQ

f(x0)

P x0
Fig. 2

x0+∆x

X

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Ejemplo 1 Hallemos la tangente a la parábola y = x2 en el punto (3,9). Para conocer el valor de la pendiente de la recta tangente calculemos,

∆y (x + ∆x)2 − x 2 m = ∆ x lim 0 = lim 0 = ∆ x lim ∆ x ∆x ∆x = ∆ x lim 0 ( 2 x + ∆ x ) = 2 x

0

x 2 + 2 x∆ x + (∆ x ) 2 − x 2 ∆x

Para x = 3 se tiene que m = 6. De manera que la ecuación de larecta tangente a la parábola y = x2 en el punto (3,9) es: y – 9 = 6(x-3), es decir, y = 6x-9. Con lo que Barrow había demostrado Newton y Leibniz, desarrollaron diferentes algoritmos y notaciones, y sus aplicaciones en la propia matemática así como en la física principalmente. Una de sus aplicaciones en la física fue encontrarle solución al problema de la definición de la velocidad de una partícula.Ellos explicaron que en un movimiento uniforme, una partícula recorre en intervalos de tiempo iguales el mismo espacio, por lo que la velocidad será constante en este movimiento pues se representa como la razón del incremento de la distancia entre el tiempo:

s (t 0 + ∆ t ) − s (t 0 ) s (t 0 + ∆ t ) − s (t 0 ) = =c (t 0 + ∆ t ) − t 0 ∆t
Esto será posible siempre que el movimiento sea...