articulo de integrales

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Metodos de Integracion
M.C. Mario Alberto Lezama Rojas
Departamento de Cienicas B´sicas
a
Instituto Tecnol´gico de Puebla
o
Curso: Matem´ticas II
a
Marz de 2007
25 de marzo de 2007
Resumen
Ejercicios de cada uno de los m´todos de integraci´n. Resolverlos como tarea y
e
o
como elementos de duda y fijaci´n de conceptos.
o

´
Indice
1. Conceptos iniciales
1.1. Nomenclatura .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
2

2. Integrales inmediatas
2.1. Ejemplos de integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Ejemplos por resolver de integrales inmediatas . . . . . . . . . . . .

2
3
3

3. Integraci´n por cambio de variable
o
3.1. Ejemplos de integrales por cambio de variable . . . . . . . . . . . . .
3.2. Ejemplospor resolver de integrales por cambio de variable . . . . . .

4
4
4

4. Integraci´n de funciones racionales
o
4.1. Ejemplos de integrales por fracciones parciales . . . . . . . . . . . .
4.2. Ejemplos por resolver de integrales por fracciones parciales . . . . .

5
6
6

5. Integraci´n por partes
o
5.1. Ejemplos por resolver de integrales por partes . . . . . . . . . . . . .
5.2.Ejemplos de integrales interesantes por el m´todo de integraci´n por
e
o
partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6
7

6. Integraci´n de expresiones trigonom´tricas
o
e
6.1. Integraci´n de potencias de funciones trigonom´tricas . . . . . . . .
o
e

10
10

1

8

M´todos de Integraci´n
e
o

1.

2

Conceptos iniciales

Definici´n1.1. (Primitiva): Una funci´n F (x) se llama primitiva de otra funci´n
o
o
o
f (x) si F (x) = f (x).
Proposici´n 1.2. Si una funci´n tiene una primitiva, entonces tiene infinitas,que
o
o
se diferencian entre s´ en una constante.
ı
Definici´n 1.3. (Integral indefinida): Se llama integral indefinida de una funci´n
o
o
f (x) al conjunto formado por todas sus primitivas, y se denota por:
f(x)dx = F (x) + C

(1)

De (1) podemos concluir que [F (x) + C] = f (x). En realidad cuando integramos
una funci´n no obtenemos una funci´n, sino una familia de funciones, que son la
o
o
soluci´n de la integral.
o

1.1.

Nomenclatura

Es importante hacer notar las expresiones (verbales) correctas para cada una de
las partes de la integral, esto con al intenci´n de tengamos un usoadecuado de cada
o
uno de los componentes de una integral. En forma general se escribe
f (x)dx
Donde

(2)

es el s´
ımbolo de integral, lo que significa que se aplicar´ el operador
a

integral. f (x) es la funci´n que se integrar´ o el integrando y dx indica la variable
o
a
sobre la cual se realizar´ la integral. Por ejemplo si el integrando es cos(x + y) y
a
el diferencial dx lavariable es x, mientras que y temporalmente se toma como una
constante.
Otro ejemplo, sea la integral
(x2 + y 2 + z 2 )exz dz
aqui la variable en el integrando es z por lo que las otras dos variables x, y se
tomar´n como constantes.
a
Para generalizar, si tenemos una integral f (α, β)dβ, donde dβ indica que la
variable es β, mientras que α es una constante momentaneamente.

2.

Integralesinmediatas

Es el m´todo m´s sencillo; puesto que analizando la funci´n a integrar y localie
a
o
zando en la tabla la correspondiente se resuelve la integral propuesta. En algunos
casos es necesario realizar algunos pasos algebraicos.

M´todos de Integraci´n
e
o

2.1.

3

Ejemplos de integrales inmediatas

En cada una de las integrales primero realizar el ´lgebra correspondienteo buscar
a
identidades trigonom´tricas.
e
√
√
♣ Ejemplo 2.1.1. Integrar
x dx haciendo ´lgebra
a
x = x1/8 de esta
forma la integral anterior se convierte en
x1/8 dx
Si n =

1
8

xn dx =

y aplicando la f´rmula
o

+ C entonces

8
x1/8 dx = x9/8 + C
9

•
♣ Ejemplo

xn+1
n+1

2.1.2. Resolver la integral
earc sen x
√
dx
1 − x2

Si analizamos la funci´n a...