articulo Eulalio

Conducta Dinámica en un Sistema Caótico
Eulalio Aguilar Padilla
Facultad de Ingeniería
Corporación Uni…cada Nacional - C.U.N
13 de Mayo de 2011

Resumen
Los sistemas deterministas se usan en diferentes disciplinas. Estos
sistemas pueden presentar un comportamiento regular o caótico. Un sistemas caótico tiene sensibilidad a las condiciones iniciales y por lo tanto
su estado es impredecible en elfuturo distante. En este artículo se ilustra
la impredictibilidad de estos sistemas con el modelo de Lorenz, el circuito
Chua modi…cado y el péndulo forzado.

Palabras claves: Sistemas deterministas, sistemas caóticos, impredictibilidad.

1.

SISTEMAS DINÁMICOS

Se podría decir que los sistemas dinámicos son un área “joven"de las matemáticas, aunque se remontan a Newton con sus estudios de MecánicaCeleste, y a
Henri Poincaré, quien inició el estudio cualitativo de las ecuaciones diferenciales.
Sin embargo, fue hace apenas unos 50 años que los sistemas dinámicos se establecieron como un área propiamente dicha, gracias al trabajo destacado de
matemáticos e ingenieros como: S. Smale, V. Arnold, Lyapunov, etc.
Podemos referirnos a sistema dinámico como una funcion con una actitud.
Un sistemadinámico hace la misma cosa una y otra vez y siempre se sabe lo
que se hara a continuación. Si trataramos de precisar el concepto de sistemas
dinámicos, podríamos decir burdamente que se trata del estudio de sistemas deterministas, es decir, consideramos situaciones que dependan de algún parámetro
dado, que frecuentemente suponemos que es el tiempo, y que varían de acuerdo a leyes establecidas. Demanera que el conocimiento de la situación en un
momento dado, nos permite reconstruir el pasado y predecir el futuro.
Un sistema dinámico tiene dos partes: Un vector de estado el cual describe
exactamente el estado de algun sistema real o hipotatico, y una función (es
decir, una regla) que nos dice, dado el estado actual, lo que el estado del sistema
hará en el próximo instante de tiempo.
Lossistemas físicos se describen por números. Este hecho increible explica el
por que del exito matrimonial entre las matematicas y las ciencias. Por ejemplo,
el movimiento de una pelota lanzada hacia arriba se puede describir usando dos
números: su altura h por encima del suelo y su velocidad v. Una vez conozcamos
el valor de estos dos números, h y v, el futuro de esta pelota esta completamente

1determinado. El par de números (h, v ) es un vector el cual describe completamente el estado de la pelota y por lo tanto se llama vector de estado del sistema.
Por lo general, escribimos los vectores como columnas de números, por lo que
con más propiedad, el estado de este sistema es hv .
Puede ser posible describir el estado de un sistema mediante un único número.
por ejemplo, consideremos unacuenta bancaria abierta con $100,000 con el 6 %
de interés compuesto anual. El estado de este sistema en cualquier instante de
tiempo puede describirse mediante un solo número: el saldo de la cuenta. En
este caso, el vector de estado tiene un solo componente.
Por otra parte, algunos sistemas dinámicos requieren de muchos números
para describir el estado. Por ejemplo, el tiempo de un sistema dinámicomodelado globalmente podría tener millones de variables representados por la temperatura, presión, velocidad del viento, y asi sucesivamente alrededor de puntos
de todo el mundo. Aunque es extremadamente complejo, el estado del sistema
es simplemente una lista de números - un vector.
Sea simple o complicado, el estado del sistema es un vector, generalmente
los denotamos por vectores en negrita,minúsculas, tales como x. (Excepción:
Cuando el estado puede ser descrito por un solo número, podemos escribir x en
lugar de x.)

1.1.

UN INSTANTE DESPUES: TIEMPO DISCRETO.

La segunda parte de un sistema dinámico es una función que nos dice cómo
cambia el sistema con el tiempo. En otras palabras, si se nos da el estado actual
del sistema, la función nos dice el estado del sistema un instante...