Asíntota de una curva

Asíntota de una curva
Asíntotas
Se llama asíntota de una función f(x) a una recta t cuya distancia a la curva tiende a cero, cuando x tiende a infinito obien x tiende a un punto a.
Asíntota vertical
La recta x=a es asíntota vertical (AV) de f(x) si limx->a+ f(x) = info limx->a- f(x) = inf.

Asíntotahorizontal
La recta y=b es asíntota horizontal (AH) de f(x) si limx->inf f(x) = b.
Ejemplo
f(x) = x/(x-1)limx->1+ f(x) = +inflimx->1- f(x) = -inf=>x=1 es AV de f(x)limx->inf f(x) = 1=> y=1 es AH de f(x)       
Asíntota oblicua
La recta y = mx + n es asíntota oblicua (AO) de f(x)si limx->inf f(x) - (mx + n) = 0.

Ejemplo
f(x) = x + 1/xlimx->inf f(x) - x = limx->inf x + 1/x - x = 0=> y=x es AO de f(x)Además,limx->0+ f(x) =+inflimx->0- f(x) = -inf=> x=0 es AV de f(x)    
Teorema
y = mx + n es asíntota oblicua de f(x) <=> n = limx->inf f(x) - mxm = limx->inf f(x)/xDemostración:
Directo:
Por hipótesis lim f(x) - (mx + n) = 0
x->inf
=> lim f(x) - mx - n = 0
x->inf
=> lim f(x) - mx = nx->inf
n
---^---
f(x)f(x) f(x) - mx
=> lim ---- = lim ---- - m + m = lim --------- + m = m
x->inf x x->inf x x->inf xRecíproco:
lim f(x) - (mx + n) = lim f(x) - mx - n = 0
x->inf x->inf
=> por definición y = mx + n es asíntota oblicua de f(x).