AS NTOTAS DE UNA FUNCI N

ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.
Una definiciónmás formal es:
DEFINICIÓN
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entreese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.
Las asíntotas se clasifican en:
Verticales
Horizontales
Oblicuas

a. Asíntotas verticales(paralelas al eje OY)
Si existe un número “a” tal, que :

La recta “x = a” es la asíntota vertical.
Ejemplo:

es la asíntota vertical.



b. Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)
Si existeel límite: :

La recta “y = b” es la asíntota horizontal.
Ejemplo:
es la asíntota horizontal.


c. Asíntotas oblicuas (inclinadas)
Si existen los límites: :

La recta “y = mx+n” es la asíntotaoblicua.
Ejemplo:

es la asíntota oblicua.

Nota-1
Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.
Nota-2
En el cálculode los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solouna de las dos.
Posición relativa de la función con respecto a la asíntota
Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero calcularemos los puntos de corte deambas resolviendo el sistema:

Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la asíntota. Estos cambios quedarán perfectamente establecidos estudiando el SIGNO[f(x)-Asíntota].Ejemplo:
La función tiene por asíntota oblicua la recta
Calculamos los puntos de intersección de ambas:

El punto de corte de las dos funciones es P(2/3, 8/3).
Ahora estudiamos el signo de...