ASAS

1.1. Propiedades de orden, desigualdades y valor absoluto.
1.1.1.

La recta real y las propiedades de orden.

Tomaremos como punto de referencia la “recta real”, en cuanto interpretaci´ n geom´ trica de los n´ meros
o
e
u
reales. Seguidamente nos centrarnos en el estudio de los axiomas de orden de los n´ meros reales y sus conu
secuencias.
y
.
.
.
.
.
.
.
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x
.
.
.
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..
.
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0 1
.
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.
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.
.
.
.
.

x
.
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.
.
.
.
.
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y
.
.
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.
.
.
.
.

-

Figura 1. La recta real.
Axiomas de orden.
i Existe un subconjunto de R; denotado RC ; tal que todo n´ mero real x satisface una, y s´ lo una, de las
u
o
propiedades siguientes: x 2 RC I x D 0I
x 2 RC :
ii Si x; y 2 RC entonces .x C y/ 2 RC y .xy/ 2 RC .Definici´ n. Sea x un n´ mero real. Entonces x es positivo si x 2 RC ; x es negativo si x 2 RC :
o
u
Los axiomas anteriores expresan simplemente que todo n´ mero real o es positivo o es cero o es negativo
u
y tanto la suma como el producto de n´ meros positivos es un n´ mero positivo.
u
u
Nota. Hasta ahora hemos apelado a la intuici´ n para referirnos a n´ meros positivos o negativos. En lo
o
usucesivo podemos acudir a los axiomas y la definici´ n anteriores para sustentar sus propiedades y definir
o
nuevos t´ rminos. Por ejemplo, diremos que dos n´ meros reales tienen el mismo signo si ambos son positivos
e
u
o ambos son negativos y diremos que tienen signo contrario si uno de ellos es positivo y el otro es negativo.
Aunque los siguientes enunciados deben parecer obvios, ellos sededucen de los axiomas de orden y por eso
los registramos como un teorema. La demostraci´ n se har´ en la secci´ n 1.1.7, p´ gina 8.
o
a
o
a
Teorema. i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)

Si dos n´ meros reales tienen el mismo signo entonces su producto es positivo.
u
Si dos n´ meros reales tienen signo contrario entonces su producto es negativo.
u
El cuadrado de cualquier n´ mero realdistinto de cero es positivo.
u
Todo n´ mero natural es positivo.
u
Si un n´ mero real es distinto de cero entonces el y su rec´proco tienen el mismo signo.
u
´
ı
Si dos n´ meros reales a y b tienen el mismo signo entonces el cociente a=b es positivo.
u
Si dos n´ meros reales a y b tienen signos contrarios entonces el cociente a=b es negativo.
u

Las relaciones “mayor que” y “menorque”.
Definici´ n. Si a y b son n´ meros reales, se dice b es mayor que a si b
o
u
Tambi´ n en este caso se dice que a es menor que b y se escribe a < b:
e

a es positivo, y se escribe b > a:

Esta deficini´ n se interpreta tomando en la recta real a a la izquierda de b (si se ha dibujado de tal
o
manera que 0 est´ a la izquierda de 1). En particular, la expresi´ n a > 0 quiere decir que a espositivo y la
a
o
expresi´ n a < 0 significa que a es negativo. Ilustremos la deficini´ n con algunos ejemplos num´ ricos:
o
o
e
i) 5 < 12; pues 12 5 D 7 es positivo; ii) 11 > 12 ; pues 11
7
8
7
11
12
11
4
iii) 11 < 12 ; pues 12
7
8
8
7 D
8 C 7 D 56 es positivo.
2

12
8

D

88 84
56

D

4
56

es positivo.

1.1.2.

Intervalos.

Suponga que a es un n´ meroreal. Al conjunto de todos los n´ meros reales mayores que a lo denotaremos
u
u
.a; 1/ (l´ ase “intervalo a; infinito”) y al conjunto de los n´ meros menores que a lo denotaremos . 1; a/
e
u
(l´ ase “intervalo menos infinito, a”). En la siguiente figura se resaltan en la recta real dichos intervalos.
e
.
.
.
.
.
.
..
.

..
.
.
.
.
.
..

...
...
..
...
..

a

...
....
....
...

a

Figura 2. Intervalos .a; 1/ y . 1; a/.
Haciendo uso de de estas notaciones podemos entonces decir que el conjunto de los n´ meros positivos es
u
el intervalo .0; 1/ y el de los negativos es . 1; 0/ :
Si a los intervalos .a; 1/ y . 1; a/ se les agrega el n´ mero a; entonces se obtienen los intervalos
u
Œa; 1/ y . 1; a; respectivamente. Estos conjuntos se muestran en...