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La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.
El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utilizaprincipalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
Fue usado por primera vez por científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.
En cálculoinfinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.
Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.
Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas def, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:
  ó  
El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto elinverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.
Índice
1 Ejemplo
2 Constante de integración
3 Otras propiedades
3.1 Linealidad de la integral indefinida
3.2 La primitiva de una función impar es siempre par3.3 La primitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F(0) = 0
3.4 La primitiva de una función periódica es la suma de una función lineal y de una función periódica
3.5 Relación entre la integral de una función y la de su recíproca
3.6 Existencia de primitivas
4 Cálculo de primitivas
4.1 Integrales inmediatas
4.2 Métodos de integración
5 Véase también
6 Enlaces externosEjemplo
Una primitiva de la función en es la función ya que:

Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como sin(x), sin(x) + 5, sin(x) - 100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será de la forma sin(x) + C donde C es una constante conocida como constante de integración.
Constante de integraciónArtículo principal: Constante de integración
La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez que se ha encontrado una primitiva F, si se le suma o resta una constante C, se obtiene otra primitiva. Esto ocurre porque (F + C) ' = F ' + C ' = F ' + 0 = F '. La constante es una manera de expresar que cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.
Para interpretar elsignificado de la constante de integración se puede observar el hecho de que la función f (x) es la derivada de otra función F (x), es decir, que para cada valor de x, f (x) le asigna la pendiente de F (x). Si se dibuja en cada punto (x, y) del plano cartesiano un pequeño segmento con pendiente f (x), se obtiene un campo vectorial como el que se representa en la figura de la derecha. Entonces elproblema de encontrar una función F (x) tal que su derivada sea la función f (x) se convierte en el problema de encontrar una función de la gráfica de la cual, en todos los puntos sea tangente a los vectores del campo. En la figura de la derecha se observa como al variar la constante de integración se obtienen diversas funciones que cumplen esta condición y son traslaciones verticales unas de otras....