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Cap´
ıtulo 4
Funciones vectoriales de una
variable
Derivaci´n de funciones vectoriales de una variable. Teorema del incremento
o
finito y desarrollo de Taylor. Longitud de un arco de curva. Integral respecto al
arco. Aplicaciones
Este cap´
ıtulo est´ dedicado al c´lculo diferencial e integral para funciones veca
a
toriales de variable real. En este contexto la noci´n de derivada est´motivada por
o
a
el problema de trazar tangentes a curvas dadas en forma param´trica. Tambi´n sire
e
ve para formular la noci´n f´
o ısica de velocidad instant´nea de una part´
a
ıcula que se
mueve en el espacio.
Para una funci´n de variable real con valores vectoriales la derivada se define
o
como en el caso de funciones con valores reales. Para que la definici´n tenga sentido
o
bastaque la funci´n tome valores en un espacio vectorial dotado de una norma, lo
o
que permite formar el cociente incremental y considerar la existencia de su l´
ımite.
El c´lculo diferencial de funciones vectoriales de variable real se desarrolla de
a
modo paralelo al de las funciones con valores reales, con peque˜ as diferencias que
n
surgen en relaci´n con el teorema del incremento finito.Naturalmente que en el caso
o
de funciones vectoriales hay una serie de cuestiones que no se plantean, como son
las relativas al signo de la derivada, crecimiento y decrecimiento, convexidad, etc.
La primera novedad respecto al caso de las funciones con valores reales surge en
que ahora hay interpretaciones geom´tricas y f´
e
ısicas muy interesantes: La derivada
primera y la derivada segundaproporcionan, respectivamente, la velocidad y la
aceleraci´n de una part´
o
ıcula que se mueve en el espacio.
Uno de los resultados centrales del cap´
ıtulo es la versi´n del teorema del increo
mento finito para funciones vectoriales de variable real (4.7, 4.8). En este contexto
no es v´lida la formulaci´n habitual en t´rminos del valor de la derivada en un punto
a
o
e
intermedio, y ladificultad se resuelve con una formulaci´n en t´rminos de desigualo
e
dad en la que interviene una cota de la derivada en el intervalo donde se aplica. La
versi´n con desigualdad del teorema del incremento finito es suficiente para proseguir
o
con el c´lculo diferencial y obtener el desarrollo de Taylor de una funci´n vectorial
a
o
de una variable en un punto donde la funci´n es derivable mveces, con el resto (o
o
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´
´
Lecciones de Analisis Matematico II

G. Vera

t´rmino complementario) en forma infinitesimal. Igual que ocurre con el teorema del
e
incremento finito, para las funciones vectoriales de variable real de clase C m+1 , no
es v´lida la forma habitual del resto en la forma de Lagrange, donde interviene un
a
punto intermedio del intervalo. Sin embargo siguevaliendo la f´rmula integral del
o
resto y con el fin de obtenerla se hace una breve incursi´n en la integraci´n vectorial
o
o
en el ´mbito de las funciones continuas con valores en el espacio eucl´
a
ıdeo Rn .
En esta situaci´n es f´cil comprobar, razonando componente a componente, que
o
a
siguen valiendo los resultados b´sicos del c´lculo integral: Integrabilidad de las funa
a
cionescontinuas, desigualdad triangular para las integrales, teorema fundamental
del c´lculo, regla de Barrow, cambio de variable e integraci´n por partes.
a
o
Como material complementario relacionado con este tema se puede consultar en
el ap´ndice D la definici´n de integral para el caso general de funciones de variable
e
o
real con valores en un espacio normado completo.
Con el teorema delincremento finito se demuestra que si el movimiento de una
part´
ıcula lo describe un camino de clase C 1 entonces la norma del vector velocidad
coincide, en cada instante, con la celeridad de la part´
ıcula (la magnitud escalar que
mide el cuenta kil´metros de un autom´vil). Una consecuencia inmediata de este
o
o
hecho es la f´rmula integral para el c´lculo de la longitud de la trayectoria...