ascensor

SOCIEDAD ESTÁNDARES DE INGENIERÍA PARA AGUAS Y SUELOS LTDA.

MÓDULO 1
LEYES DE
DISTRIBUCIÓN DE
PROCESOS
HIDROLÓGICOS
Autores:
Dr. Ing. Roberto Pizarro T.
Ing. Juan Pablo Flores V.
Ing. Claudia Sangüesa P.
Ing. Enzo Martínez A.

SOCIEDAD ESTÁNDARES DE INGENIERÍA PARA AGUAS Y SUELOS LTDA.

u = x − 0.450047 S (3)
1
= 0.779696 S (4)
d

1. INTRODUCCIÓN
El presente documento fueextraído y reeditado del Instructivo N° 5 del
libro “Elementos de Hidrología I” (Pizarro et al, 1986), el cual pretende
entregar una metodología que permita predecir con cierta probabilidad
los valores que puede tomar una variable hidrológica, en función de la
información de que se disponga, planteándose lo anterior, en valores
máximos probables, aplicando la ley de distribución de Gumbel, yasociado esto, a algunas pruebas de bondad de ajuste.
Se plantea la utilización de la ley de distribución de Gumbel, dado que
ella ha demostrado poseer una adecuada capacidad de ajuste, a
valores máximos de caudales, precipitación en distintos períodos de
tiempo, aportaciones anuales, etc. Además, se entrega una prueba de
bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov, un cálculo del coeficiente dedeterminación, y ello asociado a un ejemplo práctico.
2. AJUSTE A LA FUNCION DE GUMBEL
2.1 Definición de la función de Gumbel
Una variable aleatoria E sigue una distribución de probabilidad de
Gumbel, si:

F ( X ) = P[ε ≤ X ] = e

−e−d ( x −u )

con -∞ ≤ x ≤ ∞

(1)

donde:
x = media aritmética de la serie de datos considerados.
S = desviación típica de la muestra de datosconsiderados.
Los valores 0,450047 y 0,779696, son válidos para un número de
cincuenta datos. Sin embargo, Heras (s/a), los señala como admisibles
para cualquier tamaño de población, en virtud de la escasa relevancia
que poseen. Luego, es posible determinar la función de Gumbel, con la
información entregada precedentemente.
De la ecuación (2), se desprende que es dable encontrar, para unaprobabilidad determinada, un valor para la variable aleatoria. Así, si se
le aplica una probabilidad, de al menos 0,9 y se obtiene un valor K,
implica que en el noventa por ciento de los casos cabe esperar un valor
de x ≤ K.
2.2 Determinación de la Probabilidad
Para conseguir definir la probabilidad implícita es preciso consignar dos
conceptos previos, que son el período de retorno y la probabilidadde
excedencia.

y donde x presenta el valor a asumir por la variable aleatoria, con d y u
parámetros y e base de los logaritmos neperianos.

Período de Retorno: se define como el tiempo que transcurre entre dos
sucesos iguales. Sea ese tiempo, T.

Despejando x de (1), queda;

Probabilidad de Excedencia: es la probabilidad asociada al período de
retorno.

x=u−

ln(− ln F ( X ))
(2)d

Para la determinación de los parámetros d y u, se utilizan las siguientes
expresiones que los definen:

Así,

Pexcedencia = P ( x) =

1
T

SOCIEDAD ESTÁNDARES DE INGENIERÍA PARA AGUAS Y SUELOS LTDA.
En otras palabras, la probabilidad de que la variable aleatoria tome un
valor igual o inferior a cierto número X, está dado por la función de
distribución de probabilidad F (X).F ( x) = ∫

x

−∞

f ( x)dx = P ( x ≤ X ) = 1 −

1
T

luego, la probabilidad de que x sea mayor que X está dada por la
función complementaria.

P( x > X ) = 1 − F ( X ) =

1
T

3. BONDAD DEL AJUSTE
Se entiende por bondad de ajuste, la asimilación de datos observados
de una variable, a una función matemática previamente establecida y
reconocida. A través de ésta es posibleinterpolar y extrapolar
información; en otras palabras, predecir el comportamiento de la
variable en estudio (Pizarro et al, 1986).
Para la estimación de la bondad de ajuste, existen variadas pruebas, las
cuales poseen distinto grado de efectividad.
En el presente documento se entrega el test de Kolmogorov-Smirnov y
el coeficiente de determinación (Cid et al, 1990; Shao, 1990).
3.1 Test de...