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CALCULO I

GUIA DE EJERCICIOS Nº3 INGENIERÍA PLAN COMÚN

CM-121

FUNCIONES Objetivos : 1.- Decidir si una relación es función, conocer y determinar el dominio y el rango de una

función. 2.- Determinar si una función es par o impar y utilizar esta propiedad para construir su gráfica. 3.- Reconocer y graficar funciones lineales, cuadráticas, valor absoluto y escalonadas. 4.- Reconocerfunciones polinómicas y funciones racionales. 5.- Analizar las propiedades de inyectividad y sobreyectividad de una función para determinar si es invertible y encontrar la inversa cuando exista. 6.- Reconocer y graficar funciones exponenciales y logarítmicas. 7.- Conocer y aplicar las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas. 8.- Dominar el álgebra de funciones. 9.- Calcular eldominio de una función compuesta. 10.-Expresar una función definida a tramos en términos de funciones escalonadas unitarias.

EJERCICIOS
1.- Dada la función f ( x) = x 2 + 6 x − 4 compruebe que
2.- Si f ( x) = x 3 − 5 x 2 − 4 x + 20 , f (−1) = −9 ; f (3) = 23 ; f (7) = 5 f (−1)

demuestre que : f (0) = −2 f (3)

3.- Dada la función g ( x) = x 3 + 3 x , demuestre que : g ( x + h) − g ( x) = 3( x2 + 1)h + 3 xh 2 + h 3 4.- Sea f ( x) =

1 f (1 + h) − f (1) , encuentre x h

Resp : −

1 1+ h

5.- Encuentre el dominio de la función dada, y esboce su gráfica a) f ( x) = 4 − x 2 b) f ( x) = 1+ x 1− x c)
f ( x) = 1 − x

d)

f ( x) = 9 − x 2

e)

f ( x) = x − 4

f)

f ( x) = log( x − 2)

6.-

Si

f ( x) = log

1− x a+b , verifique la igualdad f (a ) + f (b) = f 1+ x1 + ab

7.- Sea la función f definida por f ( x) =

x+2 ,x ≤ 3 2 x 2 − 2, x > 3

a) Encuentre : f (−2), f (3), f (5) b) Encuentre su dominio y a partir de la gráfica, encuentre su recorrido. 8.- Determine si la función dada es o no inyectiva. Verifique su respuesta gráficamente. a) f ( x) = 3 x − 2 d) f ( x) = 2 − x b) f ( x) = 2 − x e) f ( x) = 1 x+2 c) f ( x) = 2 x 2 + 6 x f) f ( x) = ln (x − 1)

9.- Determine si la función dada es par o impar o ninguna de las dos cosas. a) d) f ( x) = 3 − 2 x 2 b) f ( x) = 3 x c) f) f ( x) = x x −1
2

f ( x) = x(4 − x 2 ) e)

f ( x) = x

f ( x) = ( x − 1)( x + 1)

10.- Dadas las funciones f ( x) = 2 x − 3 y a) ( f + g )( x) d) b) ( f − g )( x)

g ( x) = x + 1 , encuentre: c) ( f ⋅ g )( x) f) g ( f ( x))

f (x) e) f ( g ( x)) g¿Cuáles son sus dominios?

11.- Pruebe que el producto de dos funciones impares es una función par. 12.- Encuentre las funciones f y g , si F ( x) = f ( g ( x)) 2 , x ≠ −1 c) F ( x) = (3 x + 1) 3 x +1 13.- Una caja cerrada de base cuadrada de lado x tiene un área de 100 cm2. Exprese el volumen V de la caja como una función de x. a) F ( x) = x 2 + 4 b) F ( x) =

x (50 − x 2 ) ; 0 < x < 5 2 2 14.- Seva a construir una caja abierta con una pieza cuadrada de cartón de 12 cm. de lado. Para esto, se cortan cuadrados iguales de lado x en sus cuatro esquinas para luego doblar por la línea punteada. Exprese el volumen V de la caja construida en función de x. Resp. V ( x) =

Resp. V ( x) = 4 x(6 − x) 2 ;

0< x 0 , en el punto ( x, y ) ; otro vértice está en el origen O y el tercero en la partepositiva del eje Y . Exprese el área del triángulo como una función de x.

Resp.

A( x) =

1 4 x 2

16.- Un rectángulo tiene una esquina en la gráfica de y = 16 − x 2 ; otra esquina está en el origen; otra en la parte positiva del eje X , y la cuarta en la parte positiva del eje Y. Exprese el área A del rectángulo como una función de x.

Resp.

A( x) = x(16 − x 2 ) ;

0< x0

22.-Determine si la función dada es invertible. Si lo es, encuentre una fórmula para su inversa. x a) f ( x) = − 2 b) f ( x) = x 2 − 1 c) f ( x) = x + 1 d) f ( x) = x 3 + 1 2 x g) f ( x) = , x ≠1 e) f ( x) = 4 − x 2 f) f ( x) = x 2 − 4 , x ≥ 2 x −1 23.- a) Si f ( x) = Ae kx , f (0) = 7 y f (3) = 20 , calcule los valores de A y k. b) Si f ( x) = Ae kx ,
kx

f ( 0) = 3

y

f (3) = 12 ,...