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Encontrar la factorización de números grandes es un problema con elevada complejidad computacional, de hecho no hay ningún algoritmo eficiente para ello. Por eso varios sistemas criptográficos se basan en este problema.
  
 
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Algoritmo de Euclides.

El máximo común divisor de dos números se define, como su propio nombre indica, como el divisormás grande que ambos números tienen en común. Si disponemos de la factorización de ambos números, entonces el máximo común divisor se obtiene quedándose solamente con aquellos factores comunes a ambas descomposiciones y elevados al menor de los exponentes con los que aparezcan.
El mínimo común múltiplo, nuevamente como indica su nombre, es el múltiplo más pequeño que ambos números tienen encomún. Atendiendo a las descomposiciones de ambos números, el mínimo común múltiplo se obtiene considerando todos los factores distintos que aparecen (comunes y no comunes), cada uno de ellos elevado al mayor exponente con el que aparezca.

Según se dijo antes, calcular la factprización deoun número es un proceso muy costoso. Sin embargo, puede calcularse el máximo común divisor de dos números de unamanera eficiente, sin necesidad de factorizar previamente ambos números. Es lo que se conoce como algoritmo de Euclides y consiste en lo siguiente:
 
Dados dos números , comenzamos relizando la división entera de  entre .
Cada paso consiste en una nueva división, en la que el dividendo es el número que actuó de divisor en la división anterior y el divisor es el número que se obtuvo como restoen la división anterior.
Cuando en una división se obtiene resto nulo, el máximo comun divisor de los números de los que partimos será el número que ha actuado como divisor en esa última división efectuada y que resultó ser una división exacta.



Una vez obtenido el máximo común divisor de esta manera, ¿se te ocurre cómo obtener el mínimo común múltiplo sin necesidad de factorizar losnúmeros?
  
 
 Representación de un número natural en una base cualquiera:

El método de divisiones enteras sucesivas permite escribir cualquier número natural en forma única en una base cualquiera p, en la forma siguiente:


en base p, donde .
Para lograr dicha expresión basta con realizar sucesivas divisiones enteras de n por p y tomar los restos, es decir,

hasta que en la r-ésimadivisón,  se tenga . Se toma , y hemos terminado. 
 
Nótese que nuestra actual notación posicional para los números naturales se corresponde con la representación de los números naturales en base decimal (p=10). Se denomina notación posicional porque el valor de una cifra depende de la posicón que ésta tenga en el número: un 5 en el lugar de las unidades vale 5, mientras que en el lugar de las centenas vale500.
La notación binaria, tan común en el mundo de la informática es el resultado de tomar p=2 y representar los números naturales en dicha base.
¿Conoces otras representaciones en bases distintas? Hexadecimal, sexagesimal...


Los números enteros

Cuando se necesita además restar surgen los números enteros ={ ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Los enteros se obtienen a partir de losnaturales añadiendo los opuestos para la operación suma.
Si a y b denotan números naturales, la suma de dos números enteros a+(-b), se define como:
el entero positivo a-b, si a > b,
0, si a=b
el entero negativo -(b-a) si a < b
La suma de dos enteros negativos se define como (-a)+(-b)=-(a+b)

De hecho, los enteros, con la operación suma tienen estructura de grupo conmutativo.
Si además de la suma,consideramos la operación de multiplicación definida como
(-a)(-b)=ab
(-a)b=a(-b)=-(ab),

el conjunto de los enteros, con ambas operaciones tiene estructura de anillo conmutativo y con unidad.
Por cierto, ¿qué hay más?, ¿números enteros o números naturales?. Nótese que se puede establecer una correspondencia biyectiva entre ambos conjuntos, , por ejemplo como ésta: 
 si n es un...