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Conjuntos.

Inclusión.

- A ⊂ B ⇔ (∀ x), x ∈ A ⇒ x ∈ B.
“A está incluido en B si, y sólo si, para todo elemento x que pertenezca a A, se cumple que también x pertenece a B”.
A es unsubconjunto de B.

- A ⊄ B ⇔ ( x), x ∈ A ⇒ x ∉ B.

“A no está en B si, y sólo si, existe un elemento x que pertenece a A y no pertenece a B.

Propiedades de la inclusión.

1) Reflexividad.

A ⊂ A,∀ x.

∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ A.

Todo conjunto es parte de si mismo.
2) Transitividad.

A ⊂ B, B ⊂ C = A ⊂ C.

X ∈ A ⇒ x ∈ B y x ∈ B ⇒ x ∈ C, se tiene que: x ∈ A ⇒ x ∈ C.

Ley de silogismohipotético.

3) Anti simetría.

Si un conjunto es parte de otro y éste es parte del primero, entonces son iguales.

A⊂ B ∧ B ⊂ A ⇒ A = B.

Igualdad.

A = B ⇔ A⊂ B ∧ B ⊂ A.

Dos conjuntos siniguales si tienen los mismos elementos.

Conjunto vacío. ∅ = { }.
No tiene elementos.

Propiedades.
1) El conjunto vacío está incluido en cualquier otro.

∀ x : x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A.

∅ ⊂ A.

2)∅ ⊂ A, A ⊂ ∅.

A = ∅.

Conjunto de partes de A.

P (A) = Formado por todos los subconjuntos de A.
P (A) es un conjunto de conjuntos.
P (A) = {X/X ⊂ A}.

X ∈ P (A) ⇔ X ⊂ A.

P(∅) = {∅}.
∅ ⊂ A. (V).
∅ ∈ A. (F).
∅ ∈ P (A). (V).
∅ ⊂ P (A). (V).
{2, 3} ∈ P (A). (V).
{2} ∈ P (A). (F).
A ∈ P (A). (V).
A ∈ A. (F).
A ⊂ A. (V).

Cardinal.

Cardinal de un conjunto esla cantidad de elementos que le pertenecen.

A = {1, 2, 3, 4}.
# A = 4.
# P (A) = 2 elevado a # A.
# P (A) = 16.
P (A) = {A, {1}, {2}, {3}, {4}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3,4}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}, ∅}.




Complementación de conjuntos.

 A∁ = {x ∈ U / x ∈ A}.

A∁ = {x / x ∉ A}.

x ∈ A∁ ⇔ x ∉ A.

Ej.: CB A = {x ∈ B / x ∉ A}.
Elconjunto B es el complemento del conjunto A.

En particular:
1) El complementario del vacío es el universal.
x ∈ U ⇒ x ∉ ∅ ⇒ x ∈ ∅C.
O sea: U ⊂ ∅C.
Y como: ∅C ⊂ U, resulta ∅C = U.

2)...