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Los números reales

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Números reales

Objetivos
En este tema aprenderás a:
•
•

•
•

Clasificar los números reales en
racionales e irracionales.
Identificar números irracionales de
especial relevancia en situaciones
cotidianas.
Representar gráficamente números
reales.
Realizar operaciones sencillas con
radicales.

1. Conjuntos numéricos............... ........ 2
Númerosracionales.
Números irracionales.
Números reales
2. Radicales …....................…............... 7
Actividades y ejercicios
propuestos............................................ 8

MATEMÁTICAS NII- Los números reales ■ 1

Los números reales

1. Conjuntos numéricos
Los números surgieron ante la necesidad de contar, medir e intercambiar cosas. En el
transcurso de la historia se hanido desarrollando distintos conjuntos numéricos a medida que el
progreso los fue haciendo necesarios. Los números más conocidos son los números naturales,
que se usan para contar. Si añadimos los números negativos obtenemos los números enteros.
Cocientes de números enteros generan los números racionales. Si incluimos todos los números
que se pueden expresar con decimales pero no en forma defracción (números irracionales),
obtenemos los números reales; si a éstos les añadimos los números imaginarios, tendremos los
números complejos, es decir, todos los números necesarios para resolver cualquier ecuación
algebraica.

NÚMEROS RACIONALES
Números naturales
Son los números que utilizamos para contar: 1, 2, 3, …
Si se incluye el cero, ℕ={0, 1, 2,3, ... }

Números enteros
Losnúmeros naturales no permiten expresar situaciones de la vida cotidiana tales como
temperaturas sobre cero y bajo cero, alturas sobre el nivel del mar y por debajo del nivel del mar,
saldos bancarios acreedores y saldos deudores, etc. Para poder expresar estas y otras situaciones
análogas se crearon los números negativos ( −1,−2,−3,... ) que junto con los números
naturales, forman el conjunto delos números enteros. Por tanto, los números enteros son todos
los números naturales y sus opuestos:
ℤ={0,±1,±2,±3,... }
Los números enteros se pueden representar gráficamente asociando a cada número un punto
de una recta que se denomina recta real. En ella, se toma un punto como origen al que se le
asocia el número 0. A la derecha del cero, a distancias iguales, se sitúan los números positivosy a
la izquierda se sitúan los números negativos:

Números racionales
Los números enteros no permiten expresar situaciones en las que es necesario fraccionar la
unidad como, por ejemplo, la porción de tarta que le corresponde a cada uno de los invitados a
una fiesta. Para este fin, se introdujeron los números fraccionarios o fracciones, es decir, el
a
cociente de dos números enteros a y b: b .
Los números enteros junto con las fracciones forman el conjunto de los números racionales
ℚ . Se caracterizan porque todos ellos se pueden expresar en forma de fracción y su expresión
2 ■ MATEMÁTICAS NII- Los números reales

Los números reales

decimal es un un número entero, un número decimal con un número finito de cifras decimales o un
número decimal con cifras decimales que serepiten periódicamente:

{

números enteros:

2
=2
1

números decimales exactos:

ℚ

45
=1,88
25

{

11
=1,222...
9
números decimales periódicos
7
mixtos:
=0,58333...
12
puros:

NÚMEROS IRRACIONALES
Hemos visto que los números racionales tienen una expresión decimal exacta o periódica y
pueden expresarse en forma de fracción. Desde muy antiguo, se conocen númeroscuya expresión
decimal no es periódica y, por tanto, no se pueden expresar en forma de fracción. Los números de
este tipo se denominan números irracionales:

Los números irracionales son aquéllos que no se pueden expresar en forma de
fracción y tienen una expresión decimal infinita no periódica.
Para poder trabajar con estos números se utilizan aproximaciones exactas cuyo valor es muy...