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FINAL DE ÁLGEBRA

1. Determinar para que valor/es de k el siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones no triviales?
(k – 3) x + y = 0
X + (k – 3 )y = 0

2.
a)Definir matriz inversa y probar que si una matriz A admite inversa, ésta es única

b) Sea A [pic] M[pic](R) tal que 2 · A[pic] = A[pic]. Hallar, si es posible, detA. Justificar larespuesta
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3. a) Probar que si un conjunto ordenado tiene primer elemento, éste es único


b)Construir el diagrama de Hasse correspondiente a A = { 2, 3, 4, 8, 9, 27, 45, 1215 } ordenado por la relación “ x R y [pic] x divide a y” . Indicar, si existen, primer y último elemento.Dado el subconjunto { 27, 45 } indicar, si es posible, elementos minimales, elementos maximales, cotas superiores, cotas inferiores, infimo y supremo.


c) Sea A = IN, analizar si larelación xRy si y sólo si existe z[pic] IN [pic] {0} tal que: y − x = z es reflexiva, simétrica, antisimétrica y/o transitiva.




4. a) Probar que dos números combinatorioscomplementarios son iguales

b) Hallar, si es posible, el valor de “n” que verifica: [pic]


c) Cada carnet de socio de un club tiene como identificación 2 letras seguidas de 5 números.¿Cuántos socios pueden ser registrados de esa manera, si se utilizan 26 letras del alfabeto y los dígitos del 0 al 9?_________________________________________________________________________________


5. a) Se tiene el siguiente circuito
[pic]
i) determinar la proposición correspondiente
ii) simplificar ésta y construir el circuitoasociado.

b) Traduce a lenguaje simbólico el siguiente enunciado e indica si es una tautología: Los días feriados no me levanto temprano. Hoy no me levanto temprano, por lo tanto es feriado”