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Precálculo Quinta edición
Matemáticas para el cálculo

Rectas tangentes y derivadas

JAMES STEWART, LOTHAR REDLIN, SALEEMWATSON

Pag. 898-902












4.1.- Concepto de variación y derivada.


Rectas tangentes y derivadas
En esta sección se puede observar cómo surgen los límites cuando se intenta hallar la recta tangente a una curva o la tasa decambio instantánea de una función

Problema de la tangente
Una recta tangente es una que sólo toca a una curva. Por ejemplo, en la figura 1 se muestra la parábola y la recta tangente t que toca a la parábola en el punto . Se podrá hallar una ecuación de la recta tangente t tan pronto como se conozca su pendiente m. La dificultad es que sólo se conoce el punto P, en t, mientras que para calcularla pendiente se requieren dos puntos. Pero observe que se puede calcular una aproximación a m si se elige un punto cercano en la parábola (cómo en la figura 2) y se calcula la pendiente de la secante .

Se elige de modo que . Entonces

Ahora se permite que x se aproxime a 1, de modo que se aproxima a a lo largo de la parábola. En la figura se muestra cómo las secantes correspondientesrotan respecto a y se aproximan a la recta tangente t

La pendiente de la tangente es el límite de las pendientes de las rectas secantes

Por lo tanto, usando el método de la sección 12.2, se tiene


Ahora que se sabe que la pendiente de la recta tangente es , se puede usar la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta para encontrar su ecuación
O
A veces se hace referencia ala pendiente de la recta tangente a una curva en un punto como la pendiente de la curva en el punto. La idea es que si se amplía lo suficientemente la zona del punto, la curva se asemeja a una recta. En la figura 4 se ilustra este procedimiento para la curva . Mientras más se amplía la zona, más se parece a una recta la parábola. En otras palabras, la curva se vuelve casi indistinguible de surecta tangente

Si se tiene una curva general C con ecuación se quiere hallar la tangente a C en el punto , entonces se considera un punto cercano , donde , y se calcula la pendiente de la secante :

Entonces se permite que se aproxime a a lo largo de la curva permitiendo que x se aproxime a . Si se aproxima a un número m, entonces se define la tangente t como la recta que pasa por P comopendiente m. (Esto equivale a decir que la tangente es la posición limitante de la secante cuando se aproxima a . Véase la figura 5)



Definición de una recta tangente
La recta tangente a la curva en el punto es la recta que pasa por P con pendiente

Siempre que este límite exista

Ejemplo 1 Hallar una recta tangente a una hipérbola

Encuentre una ecuación de la tangente a lahipérbola en el punto (3, 1)
Solución. Sea . Entonces la pendiente de la recta tangente en (3, 1) es


Por lo tanto, una ecuación de la tangente en el punto (3, 1) es

Que se simplifica a





La hipérbola y la tangente se muestran en la figura 6


Hay otra expresión para la pendiente de una recta tangente que algunas veces es más fácil usar. Sea . Entonces , de modo que lapendiente de la secante es

Véase la figura 7 donde se ilustra el caso y está a la derecha de . Sin embargo, si sucede que , estaría a la izquierda de

Observe que cuando x se aproxima a , tiende a 0 (porque ) y, por lo tanto, la expresión para la pendiente de la tangente es

Ejemplo 2. Hallar la tangente

Encuentre una ecuación de la recta tangente a la cuerva en el punto (1, 2)Solución. Si , entonces la pendiente de la recta tangente donde es





Por consiguiente, una ecuación de la recta tangente es (1, 2) es
O
Derivadas
Se ha visto que la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto se puede escribir como

Resulta que esta expresión surge también en muchos otros contextos, como hallar velocidades y otras tasas de cambio. Debido a que...