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Páginas: 9 (2205 palabras)
Publicado: 30 de noviembre de 2012
La sucesión de Fibonacci
María Isabel Viggiani Rocha Sea la sucesión {an} definida por: an = an-1 + an-2 si n ≥ 3 y a1 = a2 = 1. Esta sucesión es conocida como la sucesión de Fibonacci y la aparición de la misma brota por doquier. Es decir, está en infinidad de ejemplos: tanto en las plantas, como en los animales, en la Física, en la Matemática, etc. El nombre de esta sucesión se debe al másdestacado matemático de la Edad Media: Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci (filius Bonacci = hijo de Bonacci), quien nació en 1.179 y murió en la primera mitad del siglo XIII. El mismo, relata que su padre ocupaba un cargo consular en Argelia y que lo llevó para iniciarlo en los cálculos aritméticos de los árabes pues Leonardo se había educado con la numeración alfabética de los griegos y delos latinos, y con el uso del ábaco. Con los nuevos conocimientos se entusiasmó y viajó a diversos países árabes, recibiendo ahí lecciones de sabios musulmanes. De vuelta a Pisa, compuso 5 obras: la primera de ellas en 1.202, revisada y aumentada en 1.228 es Liber Abaci (Libre del Abaco). Con ella introduce el uso del cero en Occidente y presenta al mundo la famosa sucesión mediante un problemareferido a los conejos: "Alguien puso en un corral una pareja de conejos recién nacidos con el propósito de averiguar cuántas parejas habrá al cabo de un año. La prolífica naturaleza de estos animalitos indica que cada pareja recién nacida requiere un mes de maduración, durante el cual no se reproduce, pero al finalizar el segundo mes da a luz una nueva pareja, y luego sigue pariendo cada mes otrapareja. ¿Cuántas parejas habrá al término de un año, suponiendo que ningún conejo muere en esta feliz experiencia?" La solución es simple. Al empezar tenemos una pareja. Al finalizar el primer mes seguimos con una sola pareja. Al término del segundo mes, el corral ya cuenta con 2 parejas. Al cabo del tercer mes la pareja inicial da a luz otra pareja: ya hay 3 parejas una nueva. Al final del cuartomes, procrea la pareja inicial y la primogénita: tenemos 5 parejas. Al final del quinto mes: 8 parejas y así sucesivamente. Al culminar el año el corral tendrá 233 parejas de conejos.
29
A pesar de figurar este problema en el libro, Fibonacci no le prestó mayor atención. Fue recién en el siglo XIX que la llamada sucesión de FIbonacci comenzó a conmover al mundo matemático. El francés EdouardLucas (cuya biografía la R.E.M. publicó en el V8-2 y en los V8-1 y V8-3 aparecieron sendos artículos donde se estudiaba el Teorema de Lucas - R.J.Miatello y M.I.Viggiani Rocha) fue autor de una obra en 4 tomos, de recreaciones matemáticas y le dedicó a esta sucesión un extenso análisis y mostró que la misma es un grifo abierto de curiosidades. En E.E.U.U., desde 1.963, se publica "The FibonacciQuarterly" (revista cuatrimestral), cuya edición está a cargo de la Fibonacci Association; esta revista también trata de sucesiones generalizadas de la de Fibonacci y de otras sucesiones análogas (al finalizar este artículo habrá una breve referencia a algunas de ellas). Conozcamos los primeros 25 términos de esta sucesión: a1=1 a6=8 a11=89 a16=987 a21=10.946 a2=1 a7=13 A12=144 a17=1.597 a22=17.711a3=2 a8=21 a13=233 a18=2.584 a23=28.657 a4=3 a9=34 a14=377 a19=4.181 a24=46.368 a5=5 a10=55 a15=610 a20=6.765 a25=75.025
La R.E.M. y la sucesión de Fibonacci La R.E.M. en números anteriores mencionó esta sucesión. Así por ejemplo: a) V6-3: "Enseñando una Matemática más Novedosa y Divertida" 2ª parte (N. Cosenza, N. Gurruchaga y M.J. Vignoli). En este artículo se comenta un truco con el cual seadivina un número "al estilo Fibonacci", como así también plantea el caso de los 30
conejos, prueba algunas propiedades de esta sucesión y comenta uno de los vínculos directos entre los coeficientes binomiales y los números de Fibonacci (el cual y otro más serán tratados más adelante). b) V9-2: "Sucesiones definidas de manera recurrente" (L.Cagliero). En el artículo uno de sus párrafos se...
María Isabel Viggiani Rocha Sea la sucesión {an} definida por: an = an-1 + an-2 si n ≥ 3 y a1 = a2 = 1. Esta sucesión es conocida como la sucesión de Fibonacci y la aparición de la misma brota por doquier. Es decir, está en infinidad de ejemplos: tanto en las plantas, como en los animales, en la Física, en la Matemática, etc. El nombre de esta sucesión se debe al másdestacado matemático de la Edad Media: Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci (filius Bonacci = hijo de Bonacci), quien nació en 1.179 y murió en la primera mitad del siglo XIII. El mismo, relata que su padre ocupaba un cargo consular en Argelia y que lo llevó para iniciarlo en los cálculos aritméticos de los árabes pues Leonardo se había educado con la numeración alfabética de los griegos y delos latinos, y con el uso del ábaco. Con los nuevos conocimientos se entusiasmó y viajó a diversos países árabes, recibiendo ahí lecciones de sabios musulmanes. De vuelta a Pisa, compuso 5 obras: la primera de ellas en 1.202, revisada y aumentada en 1.228 es Liber Abaci (Libre del Abaco). Con ella introduce el uso del cero en Occidente y presenta al mundo la famosa sucesión mediante un problemareferido a los conejos: "Alguien puso en un corral una pareja de conejos recién nacidos con el propósito de averiguar cuántas parejas habrá al cabo de un año. La prolífica naturaleza de estos animalitos indica que cada pareja recién nacida requiere un mes de maduración, durante el cual no se reproduce, pero al finalizar el segundo mes da a luz una nueva pareja, y luego sigue pariendo cada mes otrapareja. ¿Cuántas parejas habrá al término de un año, suponiendo que ningún conejo muere en esta feliz experiencia?" La solución es simple. Al empezar tenemos una pareja. Al finalizar el primer mes seguimos con una sola pareja. Al término del segundo mes, el corral ya cuenta con 2 parejas. Al cabo del tercer mes la pareja inicial da a luz otra pareja: ya hay 3 parejas una nueva. Al final del cuartomes, procrea la pareja inicial y la primogénita: tenemos 5 parejas. Al final del quinto mes: 8 parejas y así sucesivamente. Al culminar el año el corral tendrá 233 parejas de conejos.
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A pesar de figurar este problema en el libro, Fibonacci no le prestó mayor atención. Fue recién en el siglo XIX que la llamada sucesión de FIbonacci comenzó a conmover al mundo matemático. El francés EdouardLucas (cuya biografía la R.E.M. publicó en el V8-2 y en los V8-1 y V8-3 aparecieron sendos artículos donde se estudiaba el Teorema de Lucas - R.J.Miatello y M.I.Viggiani Rocha) fue autor de una obra en 4 tomos, de recreaciones matemáticas y le dedicó a esta sucesión un extenso análisis y mostró que la misma es un grifo abierto de curiosidades. En E.E.U.U., desde 1.963, se publica "The FibonacciQuarterly" (revista cuatrimestral), cuya edición está a cargo de la Fibonacci Association; esta revista también trata de sucesiones generalizadas de la de Fibonacci y de otras sucesiones análogas (al finalizar este artículo habrá una breve referencia a algunas de ellas). Conozcamos los primeros 25 términos de esta sucesión: a1=1 a6=8 a11=89 a16=987 a21=10.946 a2=1 a7=13 A12=144 a17=1.597 a22=17.711a3=2 a8=21 a13=233 a18=2.584 a23=28.657 a4=3 a9=34 a14=377 a19=4.181 a24=46.368 a5=5 a10=55 a15=610 a20=6.765 a25=75.025
La R.E.M. y la sucesión de Fibonacci La R.E.M. en números anteriores mencionó esta sucesión. Así por ejemplo: a) V6-3: "Enseñando una Matemática más Novedosa y Divertida" 2ª parte (N. Cosenza, N. Gurruchaga y M.J. Vignoli). En este artículo se comenta un truco con el cual seadivina un número "al estilo Fibonacci", como así también plantea el caso de los 30
conejos, prueba algunas propiedades de esta sucesión y comenta uno de los vínculos directos entre los coeficientes binomiales y los números de Fibonacci (el cual y otro más serán tratados más adelante). b) V9-2: "Sucesiones definidas de manera recurrente" (L.Cagliero). En el artículo uno de sus párrafos se...
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