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Resumen Esquem´tico del curso MA26B a
Oscar Peredo A.
*

18 de Junio de 2003

1.

Introducci´n o

Este resumen tiene por objetivo presentar la mayor parte de los contenidos del curso ma26b de forma simple y sin demostraciones. Se incluyen esquemas mnemot´cnicos f´ciles de asimilar y e a definiciones extra´ ıdas de los apuntes del profesor. La intenci´n de estas pag´ o ınas no esreemplazar los apuntes oficiales del curso, sino dar un enfoque resumido de estos, abarcando menor cantidad de contenidos, con enfas´ en los t´picos principales de cada cap´ ıs o ıtulo.

2.
2.1.

Curvas y Superficies en R3
Curvas

Definicion 1 Un conjunto Γ se llama curva si existe una funci´n continua r : [a, b] → R3 llamada o parametrizaci´n de la curva tal que o

Γ = r([a, b]) = {r(t) ∈ R3 |t ∈[a, b], a, b ∈ R}

(1)

Adem´s, Γ puede ser: a Suave si r ∈ C. ˙ Regular si r > 0. Simple si r es inyectiva. Cerrada si r(a) = r(b). Definicion 2 Se llama velocidad al vector v(t) : [a, b] → R3 tal que

v(t) =

dr(t) r(t + h) − r(t) = l´ ım h→0 dt h

(2)

Definicion 3 Se llama rapidez al escalar s(t) determinado por

s(t) = v =

dr(t) dt

(3)

ˆ Definicion 4 Se llama vectortangente al vector t determinado por
* Alumno

de Ingenier´ de la Universidad de Chile ıa

1

v ˆ t= = s(t)

1 dr(t) dt

dr(t) dt

(4)

2.1.1.

Sistemas de Coordenadas Ortogonales

Los SCO1 mas conocidos son los sistemas Cartesiano, Cil´ ındrico, Esf´rico y Toroidal. Comene zaremos por listar los factores escalares, de suma importancia en la obtenci´n de gradientes, o divergencias yrotores, entre otros usos. Para R3 , los factores escalares, en un SCO son los siguientes: hu = ∂r ∂u hv = ∂r ∂v hw = ∂r ∂w Cartesianas Cil´ ındricas Esf´ricas e hx = 1 hρ = 1 hr = 1 hy = 1 hθ = ρ hθ = r sin ϕ hz = 1 hz = 1 hϕ = r

2.1.2.

Gradiente en Coordenadas Ortogonales

f=

1 ∂f 1 ∂f 1 ∂f u+ ˆ v+ ˆ w ˆ hu ∂u hv ∂v hw ∂w

(5)

2.1.3.

Elemento de Volumen dV

dV = hu hv hwdudvdw (6) Cil´ ındricas Esf´ricas e dV = ρdρdθdz dV = r2 sin ϕdrdθdϕ

2.1.4.

Longitud de Arco (Γ)

Definicion 5 La longitud de arco de Γ se define como la siguiente integral
b

(Γ) =
a

∂r(τ ) dτ ∂τ

(7)

1 Ver

apunte para descripci´n de los Sistemas de Coordenadas principales o

2

2.1.5.

Integral de L´ ınea

Definicion 6 La integral de l´ ınea de una funci´n f : D ⊆ R3 →R sobre Γ, parametrizada por la o 3 funci´n r : [a, b] → R se representa por o
b

f dl =
Γ a

f (r(τ ))

dr(τ ) dτ dτ

(8)

2.1.6.

Parametrizaci´n en longitud de arco o

Primero se presnta la funci´n s(t), que representa la distancia recorrida por la curva en el o instante t
t

s(t) =
a

dr(τ ) dτ dτ

(9)

, luego la parametrizacion en longitud de arco queda enunciadapor (s)=(t(s)) (10) Con esto, (4) se puede definir como = dσ(s) = ds 1
dr(t(s)) dt

dr(t(s)) dt (11)

2.1.7.

Curvatura, Radio de Curvatura, Vector Tangente y Vector Normal

Curvatura

k(s) =

d2 σ dT (s) = (s) ds ds2 R(s) = 1 k(s)

k(t)

=

dT dt (t) dr dt (t)

Radio de curvatura

R(t)

= 1
dr dt (t)

1 k(t) dr (t) dt

Vector Tangente

T (s) =

dσ ˆ (s) = t ds 1 dT(s) (s) ds

T (t) =

Vector Normal

N (s) =

dT ds

N (t) =

dT dt

1 dT (t) (t) dt

2.1.8.

Vector Binormal

Definicion 7 Se llama vector binormal al vector B obtenido de la operaci´n o B=T ×N (12) , donde T es el vector tangente y N es el vector normal. Una consecuencia de esta definici´n es la siguiente propiedad o Propiedad 1 Γ es plana ⇐⇒ dB =0 ds

3

2.1.9.

Torsi´no

Definicion 8 Se define la torsi´n τ de Γ como o τ (s) = − < dB ,N > ds

(13)

dB < ,N > dt τ (t) = − dr dt

(14)

2.1.10.

F´rmulas de Frenet o    T 0 d  N  =  −k ds B 0

k 0 −τ

  0 T τ  N  0 B

2.2.

Superficies

Definicion 9 Se dice que Ω ⊂ R3 es Conexo s´ y solo s´ ∀x, y ∈ Ω, ∃Γ regular por trozos tal que ı ı Γ ⊆ Ω con x e y puntos extremos de Γ. Definicion...