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UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS
FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

PAUTA EVALUACION DE RECUPERACION
Algebra Lineal (520131-2)

Problema 1. Sean las transformaciones lineales
T : M2 (I → I 2
R)
R
tales que

T

a b
c d

y L : I 2 → P2 (I
R
R)
L(x, y) = yt2 + xt

= (a, c + d),

a) Comprobar el teorema de las dimensiones para latransformaci´n lineal
o
T.
b) Si

B1 =

1 0
0 0

,

0 1
0 0

,

0 0
1 0

,

0 0
0 1

B2 = {(1, 1), (0, 2)}
B3 = {t2 + t + 1, t2 + t, t2 }
son bases de M2 (I I 2 , P2 (I
R), R
R), respectivamente. Encuentre la transformaci´n lineal compuesta L ◦ T , a trav´s de su matriz asociada.
o
e
Nota: [L ◦ T ]B1B3 = [L]B2B3 [T ]B1B2
(20 puntos)
SOLUCION:
T : M2 (I → I 2 ,
R)R
T

a b
c d

L : I 2 → P2
R

= (a, c + d)

L(x, y) = yt2 + xt
B1 =

1 0
0 0

,

0 1
0 0

B2 = {(1, 1)(0, 2)}
B3 = {(t2 + t + 1, t2 + t, t2 }
1

,

0 0
1 0

,

0 0
0 1

a)
Im(T ) =

=

a b
c d

T

a b
c d

:
a b
c d

(a, c + d) :

∈ M2 (I
R)

∈ M2 (I
R)

Pero (a, c + d) = a(1, 0) + c(0, 1) + d(0, 1), con lo cual el conjunto
{(1, 0),(0, 1)} genera Im(T ). Ahora, dicho conjunto es la base can´nica
o
2
2
de I y de esta manera Im(T ) = I :
R
R
⇒ dim(Im(T )) = 2
Ker(T ) =

a b
c d

=

a b
c d
=⇒

=⇒

a b
c d

: T

= (0, 0)

/(a, c + d) = (0, 0)

a = 0,

c = −d

0 b
c −c

Ker(T ) =

∈ M2 (I
R)

base de Ker(T )
0 b
c −c
0 1
0 0

A=
En efecto:

α1

0 0
1 −1

,

0 1
0 0

+ α2α1
=⇒

0 1
0 0

=b

α2
−α2

+c

0 0
1 −1

es linealmente independiente

0 0
0 0
=
1 −1
0 0

=0 
=0
⇒ α1 = α2 = 0

=0

As´ A es una base de Ker(T )
ı
=⇒

dim(Ker(T ) = 2

⇒ dim(M2 (I
R)) = dim(Im(T )) + dim(Ker(T ))
4
=
2
+
2
2

b)
(a, b) ∈ I 2 ⇒ (a, b) = α1 (1, 1) + α2 (0, 2)
R
⇒ (a, b) = (α1 , α1 + 2α2 )
⇒

α1
= a
α1 + 2α2 = b

α1 = a⇒
b−a
α2 =
2

Ahora
T

1 0
0 0

1
= (1, 0) = 1(1, 1) − 2 (0, 2)

T

0 1
0 0

= (0, 0) = 0(1, 1) + 0(0, 2)

T

0 0
1 0

= (0, 1) = 0(1, 1) + 1 (0, 2)
2

T

0 0
0 1

= (0, 1) = 0(1, 1) + 1 (0, 2)
2

⇒ [T ]B1 B2 =

1
0 0
0
−1/2 0 1/2 1/2

at2 + bt + c ∈ P2 , entonces:
at2 + bt + c = α1 (t2 + t + 1) + α2 (t2 + t) + α3 t2
⇒ α1 + α2 + α3 = a
α1 = c
α1 +α2
= b ⇒ α2 = b − c
α1 +
=c
α3 = a − b
As´
ı
L(1, 1) = t2 + t = 0(t2 + t + 1) + 1(t2 + t) + 0t2
L(0, 2) = 2t2 = 0(t2 + t + 1) + 0(t2 + t) + 2t2

⇒ [L]B2 B3

3




0 0
= 1 0 
0 2

[L ◦ T ]B2 B3 = [L]B1 B3 [T ]]B1 B2



0 0
= 1 0 
0 2

1
0 0
0
−1/2 0 1/2 1/2




0 0 0 0
= 1 0 0 0 
−1 0 1 1
Ahora
(L ◦ T )

1 0
0 0

= 0(t2 + t + 1) + 1(t2 + t)− 1t2 = t

(L ◦ T )

0 1
0 0

= 0(t2 + t + 1) + 0(t2 + t) + 0t2

(L ◦ T )

0 0
1 0

= 0(t2 + t + 1) + 0(t2 + t) + 1t2 = t2

(L ◦ T )

0 0
0 1

= 0(t2 + t + 1) + 0(t2 + t) + 1t2 = t2

Por otra parte si

a b
c d

a b
c d

1 0
0 0

=a

∈ M2 (I se tiene que
R),

0 1
0 0

+b

+c

0 0
1 0

+d

0 0
0 1

Por lo tanto:
(L◦T )

a b
c d

= a(L◦T )1 0
0 0

+b(L◦T )

0 1
0 0

= at + b(0t2 + 0t + 0) + ct2 + dt2
= (c + d)t2 + at

4

+c(L◦T )

0 0
1 0

+d(L◦T )

0 0
0 1

Problema 2. Sean S un subespacio de R4 definido por
S = {(x, y, z, w) ∈ R4 : w = x + y + z}
y B = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1)} una base de S. A partir de esta base
encontrar la mejor aproximaci´n del vector de R4 (1, 1, −1, 2) en Sutilizando,
o
para ello, el sistema de ecuaciones lineales que se deduce de la caracterizaci´n
o
de la mejor aproximaci´n. Para resolver dicho sistema debe hacerlo escaloo
nando la matriz ampliada para llegar a un sistema de ecuaciones equivalente
al sistema inicial, de f´cil resoluci´n.
a
o
Nota: Usar el producto interior usual en I 4 .
R
(20 puntos)
SOLUCION
S = {x, y, z, w) ∈ I 4 :...