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 Extremos de una función de varias variables. 
Definición. Una función  tiene un máximo (mínimo) en un punto si el valor de la función en este punto es mayor (menor) que su valor en cualquier otro punto X(x,y) de algún entono de P.
Condiciones necesarias de extremo. Si una función diferenciable alcanza un extremo en el punto entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto soniguales a cero, o sea:
;
Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cero se llaman puntos críticos o estacionarios. No todo punto crítico es un punto extremo.
Condiciones suficientes para la existencia de extremos.
(a) Caso de dos variables. Sea un punto crítico de una función  con las derivadas parciales de segundo orden continuas en P, y seael determinante de su matrizhessiana, entonces:

Es decir, si el hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da , si es negativa máximo y si es positiva mínimo). Si el hessiano es negativo no hay extremo. Y si el hessiano es cero hay duda (que habrá que resolver por otro método)
(b) Caso de tres o más variables. Calculamos los siguientes determinantes:
; ;;...;
i. Si todos los determinantes tienen signo positivo, entoncesla función tiene un mínimo en 
ii. Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor negativo ), entonces la función tiene un máximo en 
iii. En cualquier otro caso hay duda.
http://www.matap.uma.es/~svera/probres/pr3/pr3a3_1.html#extremos

¿QUÉ ES UN PUNTO DE EXTREMO ABSOLUTO O GLOBAL SOBRE UN CONJUNTO A PARA UNA FUNCIÓN REAL DE N VARIABLES REALES?
Es un punto de A en elcual la función alcanza el mayor o el menor valor respecto al resto de los valores que toma dicha función en los puntos de A.

En símbolos:


¿Y CUÁNDO HABLAMOS DE PUNTOS DE EXTREMO LOCAL O RELATIVO?
Pues cuando el máximo o el mínimo lo es respecto al resto de los valores que toma la función en cierto entorno del punto (este entorno se asume subconjunto de A) pero no necesariamente respectoal esto de los valores de la función en los demás puntos de A.



En símbolos:


Ejemplos:
El punto es un punto de mínimo absoluto y local para la función definida por:


El punto es un punto de máximo absoluto y local para la función definida por:


Al igual que en el caso de funciones de una variable una función de varias variables puede alcanzar un extremo local en puntos dondepuede o no ser diferenciable. ¿Pero en cualquier punto en el cual sea diferenciable ella puede alcanzar un máximo o mínimo? La respuesta se recoge en el teorema siguiente el cual es una extensión del llamado Teorema de Fermat al caso de funciones de varias variables aunque solo será enunciado para el caso de tres variables.



Como se ve este teorema solo expresa condiciones necesarias deexistencia de extremo local bajo el supuesto de que la función tiene derivadas parciales respecto a cada variable definidas en dicho punto (para ello es suficiente pero no necesario que la función sea diferenciable).A los puntos que anulan todas las parciales de primer orden se les denomina puntos estacionarios.

Análogamente al caso de una o dos variables existen en el caso de tres variables puntosestacionarios que no son puntos de extremo local.

¿Cómo saber si un punto estacionario es realmente un punto de extremo local?
Se hace necesario enunciar condiciones suficientes de existencia de puntos de extremo local. Estas condiciones pueden expresarse en términos de determinantes de matrices reales simétricas o en términos de valores propios de tales matrices.

Recordemos que si A es unamatriz cuadrada e I es la matriz identidad del mismo orden que A pues al polinomio definido por el determinante se le denomina polinomio característico de A y a sus ceros o raíces se les denomina valores propios, auto valores o valores característicos de A.

Teorema (Condiciones suficientes de segundo orden para la existencia de puntos de extremo local)
Sea una función con segundas...