asdfghjkl

Solucionario

2

Ecuaciones, sistemas e inecuaciones
ACTIVIDADES INICIALES

I.

Determina si los siguientes números reales son raíces del polinomio P(x) ‫ ؍‬x 3 ؊ 6x 2 ؉ 3x ؉ 10.
x ‫ ؍‬1

x ‫ ؍‬؊1

x ‫ ؍‬2

x ‫ ؍‬؊2

x ‫ ؍‬5

Los números dados se sustituyen directamente en el polinomio:
P (1) ϭ 13 Ϫ 6 и 12 ϩ 3 и 1 ϩ 10 ϭ 8

0 ⇒ 1 no es raíz de P (x);

P (Ϫ1) ϭ (Ϫ1)3 Ϫ 6 и(Ϫ1)2 ϩ 3 и (Ϫ1) ϩ 10 ϭ 0 ⇒ Ϫ1 es raíz de P (x)
P (2) ϭ 23 Ϫ 6 и 22 ϩ 3 и 2 ϩ 10 ϭ 0 ⇒ 2 es raíz de P (x);
P (Ϫ2) ϭ (Ϫ2)3 Ϫ 6 и (Ϫ2)2 ϩ 3 и (Ϫ2) ϩ 10 ϭ Ϫ28

0 ⇒ Ϫ2 no es raíz de P (x)

P (5) ϭ 53 Ϫ 6 и 52 ϩ 3 и 5 ϩ 10 ϭ 0 ⇒ 5 es raíz de P (x).
II.

Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones.
a)

Ά

a)

ϩ 9y) Ϫ 4y ϭ 19
y ϭ Ϫ1
⇒ Ά
Ά 5xx ϪϪ9y4yϭϭ1219 ⇒ Ά 5(12
x ϭ 12 ϩ 9y
xϭ33x ؉ 2(x ؊ 2y) ‫ ؍‬19
x
—— ؊ 3y ‫ ؍‬4
3

b)

Ά΂

b)

2x Ϫ y ϭ 24Ϫ
Ά 2xx ϪϪy yϭϭ1524 ⇒ (Ϫ1) Ά Ϫx
ϩ y ϭ Ϫ15

2(x ؊ 1) ؊ (y ؊ 2) ‫ ؍‬24
x
3 —— ؊ y ؉ 2y ‫ ؍‬15
3

΃

x ϭ 9 ⇒ y ϭ Ϫ6

EJERCICIOS PROPUESTOS
2.1. Realiza las siguientes operaciones con polinomios.
a) (3x 2 ؉ 2x ؊ 5) ؒ (2x 2 ؉ x ؊ 3)
b) (2x ؊ 3) ؒ (؊2x 2 ؉ 2) ؉ x (؊2x 2 ؉ x ؉ 1)
c) 4(x 3 ؊ x ؉ 3) ؊ 2(x 2 ؉3x) ؒ (؊2x ؉ 5)
a) (3x 2 ϩ 2x Ϫ 5) и (2x 2 ϩ x Ϫ 3) ϭ 6x 4 ϩ 3x 3 Ϫ 9x 2 ϩ 4x 3 ϩ 2x 2 Ϫ 6x Ϫ 10x 2 Ϫ 5x ϩ 15 ϭ 6x 4 ϩ 7x 3 Ϫ 17x 2 Ϫ 11x ϩ 15
b) (2x Ϫ 3) и (Ϫ2x2 ϩ 2) ϩ x(Ϫ2x2 ϩ x ϩ 1) ϭ Ϫ4x3 ϩ 4x ϩ 6x2 Ϫ 6 Ϫ 2x3 ϩ x2 ϩ x ϭ Ϫ6x3 ϩ 7x2 ϩ 5x Ϫ 6
c) 4(x 3 Ϫ x ϩ 3) Ϫ 2(x 2 ϩ 3x) и (Ϫ2x ϩ 5) ϭ 4x 3 Ϫ 4x ϩ 12 ϩ 4x 3 Ϫ 10x 2 ϩ 12x 2 Ϫ 30x ϭ 8x 3 ϩ 2x 2 Ϫ 34x ϩ 12
2.2. Efectúa las siguientesdivisiones.
a) (3x 3 ؉ 2x 2 ؉ x ؊ 5) Ϻ (3x 2 ؉ 2)
a) Ϫ3x 3 ϩ 2x 2 ϩ x Ϫ 5

b) (3x 4 ؊ 2x 2 ؊ x ؉ 4) Ϻ (x ؉ 2)

b) Como el divisor es de la forma x Ϫ a, se aplica la regla de Ruffini.

3x 2 ϩ 2
2
3x ϩ ᎏᎏ (cociente)
3

Ϫ3x 3 ϩ 2x 2 Ϫ2x
Ϫ3x 3 ϩ 2x 2 Ϫ x Ϫ 5
4
Ϫ3x 3 Ϫ2x 2
Ϫ ᎏᎏ
3

c) (x 3 ؊ 3x 2 ؊ x ؉ 6) Ϻ (2x ؉ 3)

Ϫ2

3 Ϫ0 Ϫ2 Ϫ10 24

Ϫ2

3 Ϫ6

12 Ϫ20 42

Ϫ2 3 Ϫ6 10 Ϫ21 46
19
3xϪ2x 2 Ϫ x Ϫ ᎏᎏ (resto)
Cociente: 3x Ϫ 6x 2 ϩ 10x Ϫ 21. Resto: 46
3
c) Como el divisor no es de la forma x Ϫ a, antes de aplicar Ruffini se dividen el dividendo y el divisor por 2.
Ϫ3x 3 ϩ 2x 2

3
Ϫᎏᎏ
2

1
3
1
ᎏᎏ Ϫᎏᎏ Ϫᎏᎏ
2
2
2

3
Ϫᎏᎏ
2

1
3 27
69
ᎏᎏ Ϫᎏᎏ ᎏᎏ Ϫᎏᎏ
2
4 8
16

3
Ϫᎏᎏ
2

1
9 23
21
ᎏᎏ Ϫᎏᎏ ᎏᎏ Ϫᎏᎏ
2
4 8
16

3

1
3
1
21
ᎏᎏ x 3 Ϫ ᎏᎏ x 2 Ϫ ᎏᎏ x ϩ3
ᎏᎏ
2
2
2
8
x 3 Ϫ 3x 2 Ϫ x ϩ 6
1 2
9
23
ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ x Ϫ ᎏᎏ x ϩ ᎏᎏ Ϫ ᎏ
2x ϩ 3
2
4
8
3
3
x ϩ ᎏᎏ
x ϩ ᎏᎏ
2
2
Para obtener el resto se multiplica por 2 el último término

΂

΃

21
21
R ϭ 2 и Ϫᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ
16
8

2.3. Halla, sin hacer la división, el valor de m para que el polinomio 2x 4 ؉ 9x 3 ؉ 2x 2 ؊ 6x ؉ 3m tenga por resto
12 al dividirlo por x ؉ 2.
Por el teoremadel resto se tiene:
32
12 ϭ 2 и (Ϫ2)4 ϩ 9 и (Ϫ2)3 ϩ 2 и (Ϫ2)2 Ϫ 6 и (Ϫ2) ϩ 3m ⇒ 12 ϭ Ϫ 20 ϩ 3m ⇒ m ϭ ᎏᎏ
3

2.4. Calcula el valor de k para que el polinomio:
a) P (x) ‫ ؍‬x 3 ؉ x 2 ؊ 2x ؉ k sea divisible por x ؊ 2.
b) P(x) ‫ ؍‬x 3 ؊ 2x 2 ؉ kx ؉ 4 sea divisible por x ؉ 2.
a) Por el teorema del factor se tiene: 23 ϩ 22 Ϫ 2 и 2 ϩ k ϭ 0 ⇒ 8 ϩ 4 Ϫ 4 ϩ k ϭ 0 ⇒ k ϭ Ϫ8
b) Por el teorema delfactor se tiene: (Ϫ2)3 Ϫ 2 и (Ϫ2)2 ϩ k и (Ϫ2) ϩ 4 ϭ 0 ⇒ Ϫ8 Ϫ 8 Ϫ 2k ϩ 4 ϭ 0 ⇒ k ϭ Ϫ6

2.5. En cada caso, factoriza el polinomio dado y halla sus raíces enteras.
a) *x 4 ؊ 4x 3 ؉ 2x 2 ؉ 4x ؊ 3

e) 6x 3 ؉ 11x 2 ؉ 6x ؉ 1

b) 9x ؉ 12x ؉ 4

f) x 4 ؉ 4x 3 ؊ 3x 2 ؊ 11x ؊ 6

c) x 4 ؊ 16

g) x 4 ؊ 3x 3 ؉ 3x 2 ؊ 3x ؉ 2

2

d) 2x ؉ 5x ؊ x ؊ 6
3

h) x 6 ؊ 9x 4

2

a) Aplicando la regla deRuffini dos veces:
1
1
1
1
1

Ϫ4
Ϫ1
Ϫ3
Ϫ1
Ϫ2

1
1
1
1
1

Ϫ2
Ϫ3
Ϫ1
Ϫ2
Ϫ3

Ϫ4
Ϫ1
Ϫ3
Ϫ3
Ϫ0

e) Aplicando la regla de Ruffini se tiene:

Ϫ3
Ϫ3
Ϫ0

Ϫ1
Ϫ1
Ϫ1

3

2

2

ෆ
ෆ
2 Ϯ ͙4
ϩ 12
ᎏᎏ

Ϫ5 Ϯ ͙ෆ
25 Ϫ 24
Ϫ5 Ϯ 1
ෆ
x ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ⇒
12
12

Ά

΂

Ϫෆ
144
Ϫ12 Ϯ ͙144
Ϫ12 Ϯ 0
2
ෆ
b) x ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ
18
18
3

΃

Ά

1
x ϭ Ϫᎏᎏ
2
1...