asdjabsdnm

´
MATEMATICAS

Relaci´n de Ejercicios
o

Grado F.I.C.O.
Curso 2013/2014

No 7

1. Dada la matriz:


−1 0 0
2 0 .
A= 1
0 −3 1
Se pide:
a) Estudia si el vector u = (−3, 1, 3/2)tes o no un vector propio de la matriz A. En caso
afirmativo, determina el valor propio asociado.
b) An´logo al apartado a), para el vector v = (0, 1, 0)t .
a
2. Calcula, cuando sea posible, losvalores propios de las siguientes matrices:


A=

1 −1
,
2 −1

1 1
,
−2 4

B=


0 0 1
C = 0 1 2 .
0 0 1

3. Para cada una de las matrices del ejercicio anterior, encuentra losvectores propios asociados a
cada valor propio.
4. Diagonaliza, cuando sea posible, las siguientes matrices:




1 1 −2
−1 0
2 6
−1 2 1  , C =  0 2
, B=
A=
1 3
0 1 −1
1 4




1 2 3
2 0 3
−1
D = 0 1 2  , E =  0 1 0  , F =  3
0 0 1
−1 0 −2
1


1
0 ,
−1

0 0
2 0 .
4 −1

5. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Demuestra los siguientesresultados:
a) A no es regular (no tiene inversa) s´ y solamente s´ 0 es un valor propio de A.
ı
ı
1
b) Si A es regular (tiene inversa) y λ es un valor propio de A, entonces
es un valor propio
λ
−1 .de A
c) Si x es un vector propio de A asociado al valor propio λ, entonces x tambi´n es vector
e
propio de A2 asociado al valor propio λ2 .
d) Calcula los valores propios de A−1 y A2 , siendo

1 0
0
A = 0 −2 0  .
0 0 1/5

1

6. Sea la matriz A =

2 −1
. Calcula Ak , en cada uno de los casos siguientes
3 −2

a) Si k es un n´mero impar.
u
b) Si k es un n´mero par.
u
7.Determina Ak , con k = 1, 2, 3, . . ., para la matriz


2 −1 −1
A = 0 −1 1  .
0 1 −1
8. Dada



1 −1 −1 1
0 0 −1 1

M =
0 −1 0 1 ,
0 0
0 1
diagonaliza M , si es posible, ycalcula M 3154 .


a 1 p
9. La matriz A =  b 2 q  tiene como vectores propios:
c −1 r
v 1 = (−1, −1, 0)t , v 2 = (1, 0, −2)t , v 3 = (0, −1, 1)t , asociados a los valores propios λ1 = 3,...